$$a^2+b^2=c^2$$

Suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.

Odpowiedź: C. $a^2+b^2=c^2$.

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

To najsłynniejsza trójka pitagorejska: $3$, $4$, $5$.

Odpowiedź: $5$.

Przekształcamy twierdzenie Pitagorasa:

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Trójka pitagorejska: $5$, $12$, $13$.

Odpowiedź: $12$.

Sprawdzamy, czy $a^2+b^2=c^2$ (dla największej jako $c$):

$$6^2+8^2=36+64=100=10^2 \ ✔$$

Pozostałe nie spełniają: $4+9\neq16$ itd.

Odpowiedź: A. $6,\ 8,\ 10$.

Przekątna kwadratu tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych bokowi:

$$d=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$$

Wzór: przekątna kwadratu to $a\sqrt2$.

Odpowiedź: $6\sqrt2\approx8{,}49$.

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$$

Odpowiedź: B. $a\sqrt2$.

Krok 1 — model. Drabina to przeciwprostokątna ($5$ m), odległość od ściany ($3$ m) to jedna przyprostokątna, wysokość ($h$) to druga.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m.

Krok 1 — wysokość dzieli trójkąt na dwa prostokątne. Podstawa połówki to $4$, przeciwprostokątna to bok $8$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3$$

Wzór ogólny: wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3$ ✔

Odpowiedź: $4\sqrt3\approx6{,}93$.

Przekątna to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $8$ i $6$:

$$d=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: D. $10$.

Krok 1 — twierdzenie odwrotne do Pitagorasa. Trójkąt jest prostokątny, gdy $a^2+b^2=c^2$ dla największego boku $c$.

Krok 2 — sprawdzamy:

$$7^2+24^2=49+576=625$$

$$25^2=625$$

Krok 3 — wniosek. Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny.

Odpowiedź: tak, jest prostokątny.

Porównujemy $a^2+b^2$ z $c^2$ dla największego boku $c=3$:

$$2^2+2^2=8,\qquad 3^2=9$$

Ponieważ $8<9$, czyli $a^2+b^2

Reguła (uogólnione twierdzenie Pitagorasa): $a^2+b^2>c^2$ — ostrokątny, $=c^2$ — prostokątny, $

Odpowiedź: C. rozwartokątny.

Krok 1 — model. Odcinek to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych równych różnicom współrzędnych.

Krok 2 — wzór na odległość (z Pitagorasa):

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $|AB|=5$.

Przekątna to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $80$ i $60$:

$$d=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\ \text{cm}$$

Interpretacja: to przekątna $1$ m — telewizor $40$-calowy (bo $100$ cm $\approx39{,}4$ cala).

Odpowiedź: $100$ cm.

$$d=a\sqrt2=5\sqrt2\approx7{,}07$$

Odpowiedź: C. $5\sqrt2$.

Krok 1 — model. Ramię ukośne to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $10-4=6$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: ramię ukośne ma $10$.

$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$

Równość $a^2+b^2=c^2$ oznacza trójkąt prostokątny (twierdzenie odwrotne do Pitagorasa).

Odpowiedź: B. prostokątny.

Krok 1 — długość jednej liny. Lina to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $12$ (wysokość) i $5$ (odległość):

$$l=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \text{m}$$

Krok 2 — cztery liny:

$$4\cdot13=52\ \text{m}$$

Trójka pitagorejska: $5$, $12$, $13$ — dała okrągły wynik.

Odpowiedź: jedna lina $13$ m, łącznie $52$ m.

Krok 1 — wysokość na podstawę. Dzieli podstawę na połowy ($6$ i $6$), tworząc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $10$:

$$h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{12\cdot8}{2}=48$$

Klucz. Wysokość trójkąta równoramiennego pada na środek podstawy — dlatego przyprostokątna to połowa podstawy ($6$), nie cała.

Odpowiedź: $P=48$.

Krok 1 — droga dłuższa (po bokach):

$$30+40=70\ \text{m}$$

Krok 2 — droga na skróty. To przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $30$ i $40$:

$$d=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \text{m}$$

Krok 3 — różnica:

$$70-50=20\ \text{m}$$

Interpretacja. To praktyczne zastosowanie Pitagorasa — trójka $30$, $40$, $50$ (wielokrotność $3,4,5$). Skrót oszczędza $20$ m.

Odpowiedź: o $20$ m krótsza.