LekcjeRazem

Krok 1 — funkcje wzajemnie odwrotne. Z definicji logarytmu:

$$g(f(x))=\log_2\left(2^x\right)=x,\qquad f(g(x))=2^{\log_2 x}=x$$

Złożenie w obie strony daje $x$, więc $f$ i $g$ są funkcjami odwrotnymi.

Krok 2 — własność symetrii. Jeśli punkt $(a,\ b)$ leży na wykresie $f$ (czyli $b=2^a$), to $a=\log_2 b$, więc punkt $(b,\ a)$ leży na wykresie $g$.

Krok 3 — wniosek. Zamiana współrzędnych $(a,b)\to(b,a)$ to właśnie symetria względem prostej $y=x$. Zatem wykresy $f$ i $g$ są swoimi odbiciami w tej prostej. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $(1,\ 2)$ leży na $f$ (bo $2^1=2$), a $(2,\ 1)$ leży na $g$ (bo $\log_2 2=1$) ✔