LekcjeRazem

Krok 1 — obserwacja wyjściowa. Dla każdej liczby zachodzi $-|a|\le a\le|a|$ oraz $-|b|\le b\le|b|$.

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — wniosek. Liczba $a+b$ leży między $-(|a|+|b|)$ a $|a|+|b|$, a to dokładnie oznacza:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem). Przykład: $a=3$, $b=5$ — wtedy $|8|=8$ oraz $3+5=8$ ✔

Nierówność ostra zachodzi przy przeciwnych znakach. Przykład: $a=3$, $b=-5$ — wtedy $|-2|=2$, ale $3+5=8$, więc $2<8$ ✔

Nazwa: to nierówność trójkąta — odpowiednik faktu, że w trójkącie bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.