Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi — zawsze nieujemna:

$$|-7|=7$$

Odpowiedź: B. $7$.

Krok 1 — najpierw działania wewnątrz:

$$|3-8|=|-5|=5$$

Krok 2 — druga wartość:

$$|-2|=2$$

Krok 3 — suma:

$$5+2=7$$

Odpowiedź: $7$.

Szukamy liczb odległych od zera o $6$ jednostki — są dwie:

$$x=6 \quad\text{lub}\quad x=-6$$

Częsty błąd: podanie tylko rozwiązania dodatniego.

Odpowiedź: $x\in\{-6,\,6\}$.

Nawias kwadratowy (ostry) domyka koniec — liczba należy do przedziału. Nawias okrągły otwiera — liczba nie należy.

Tutaj $2$ należy, a $7$ nie.

Odpowiedź: C. $2\le x<7$.

Suma — wszystko, co należy do któregokolwiek przedziału. Przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się w jeden:

$$A\cup B=(1,\,8\rangle$$

Część wspólna — to, co należy do obu naraz:

$$A\cap B=\langle3,\,5)$$

Odpowiedź: $A\cup B=(1,\,8\rangle$, $A\cap B=\langle3,\,5)$.

Szukamy liczb oddalonych od zera o mniej niż $4$ — to odcinek wokół zera:

$$-4

Zapamiętaj: $|x|między, a $|x|>a$ — dwa przedziały na zewnątrz.

Odpowiedź: A. $x\in(-4,\,4)$.

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $3$ o $5$ jednostek.

Przypadek 1:

$$x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$x-3=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|8-3|=5$ ✔ oraz $|-2-3|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Szukamy liczb oddalonych od zera o co najmniej $3$ — to dwa przedziały na zewnątrz:

$$x\le-3 \quad\text{lub}\quad x\ge3$$

$$x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$.

Krok 1 — sprawdzamy znak wyrażenia. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41<2$, to $\sqrt2-2$ jest ujemne.

Krok 2 — dla liczby ujemnej wartość bezwzględna zmienia znak:

$$|\sqrt2-2|=-( \sqrt2-2)=2-\sqrt2\approx0{,}59$$

Zasada: $|a-b|=b-a$, gdy $a

Odpowiedź: D. $2-\sqrt2$.

Zapis z wartością bezwzględną:

$$|x-4|<2$$

Rozwiązanie:

$$-2

$$x\in(2,\,6)$$

Odpowiedź: $|x-4|<2$, czyli $x\in(2,\,6)$.

Szukamy liczb spełniających oba warunki jednocześnie:

$$x<3 \quad\text{oraz}\quad x\ge0$$

$$0\le x<3$$

Zero należy (nawias domknięty z drugiego zbioru), trójka nie należy.

Odpowiedź: B. $\langle0,\,3)$.

Krok 1 — rozpisujemy jako podwójną nierówność:

$$-4\le x-1\le4$$

Krok 2 — dodajemy $1$ do wszystkich części:

$$-3\le x\le5$$

$$x\in\langle-3,\,5\rangle$$

Interpretacja: liczby oddalone od $1$ o najwyżej $4$ jednostki.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\,5\rangle$.

Różnica zbiorów to elementy $A$, które nie należą do $B$. Wycinamy z $A$ środkowy fragment:

$$A\setminus B=\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$$

Uwaga na nawiasy: liczby $3$ i $6$ nie należały do $B$ (nawiasy otwarte), więc zostają w różnicy — dlatego są domknięte.

Odpowiedź: $\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$.

Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, a $x$ może być ujemne:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Sprawdzenie dla $x=-3$: $\sqrt{9}=3=|-3|$ ✔ Gdyby wynikiem było $x$, dostalibyśmy $-3$ — a pierwiastek nie bywa ujemny.

Odpowiedź: C. $|x|$.

Przypadek 1:

$$2x-6=10 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$2x-6=-10 \quad\Rightarrow\quad 2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|16-6|=10$ ✔ oraz $|-4-6|=|-10|=10$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Wypisujemy: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Liczba $-2$ nie należy (nawias otwarty), a $3$ należy (nawias domknięty).

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — dwa przypadki. Nierówność „większe niż” rozpada się na dwie oddzielne:

$$x+2>5 \quad\text{lub}\quad x+2<-5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdą:

$$x>3 \quad\text{lub}\quad x<-7$$

$$x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$$

Interpretacja: liczby oddalone od $-2$ o więcej niż $5$ jednostek.

Sprawdzenie dla $x=4$: $|6|=6>5$ ✔; dla $x=-8$: $|-6|=6>5$ ✔; dla $x=0$: $|2|=2$, czyli nie spełnia — i faktycznie $0$ nie należy do rozwiązania ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$.