LekcjeRazem

Oznaczenia. Niech trójkąt $ABC$ ma kąt prosty w $C$, a $CD$ będzie wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną $AB$. Oznaczmy $\alpha$ — kąt przy $A$, $\beta$ — kąt przy $B$, przy czym $\alpha+\beta=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąt $ACD$. Ma kąt prosty przy $D$ (bo $CD$ to wysokość) oraz kąt $\alpha$ przy $A$, wspólny z trójkątem $ABC$. Dwa równe kąty wystarczą, więc $ACD\sim ABC$.

Krok 2 — trójkąt $CBD$. Ma kąt prosty przy $D$ oraz kąt $\beta$ przy $B$, wspólny z $ABC$. Zatem $CBD\sim ABC$.

Krok 3 — wniosek pośredni. Skoro oba są podobne do $ABC$, to są podobne również do siebie nawzajem. ∎

Konsekwencja praktyczna. Z proporcji w tych trójkątach wynikają dwa użyteczne wzory:

$$h^2=p\cdot q,\qquad a^2=c\cdot p$$

gdzie $p$ i $q$ to odcinki, na jakie wysokość dzieli przeciwprostokątną. Pierwszy wzór zastosowaliśmy w zadaniu 15.