Trójkąty przystające to takie, które można na siebie nałożyć — mają identyczne wszystkie odpowiadające sobie boki i kąty.

Uwaga: same równe kąty dają jedynie podobieństwo, a równe pola nie gwarantują nawet tego.

Odpowiedź: C. takie, które mają równe odpowiednie boki i kąty.

• BBB — trzy pary równych boków
• BKB — dwa boki i kąt między nimi
• KBK — dwa kąty i bok między nimi

Uwaga: nie ma cechy „KKK” — trzy równe kąty dają tylko podobieństwo.

Odpowiedź: BBB, BKB, KBK.

Skala podobieństwa mnoży wszystkie długości:

$$4\cdot3=12\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $12$ cm.

Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali:

$$\frac{P_2}{P_1}=k^2=4$$

Analogicznie w przestrzeni: objętości mają się jak $k^3$.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$$

Krok 2 — podobieństwo. Oba trójkąty mają identyczne trójki kątów, więc są podobne (cecha KKK).

Uwaga: podobne nie znaczy przystające — mogą się różnić rozmiarem.

Odpowiedź: trzeci kąt to $70^\circ$; trójkąty są podobne.

Skoro suma kątów zawsze wynosi $180^\circ$, dwa równe kąty wymuszają równość trzeciego — to wystarcza do podobieństwa (cecha KK).

Kontrprzykłady: trójkąt $3$–$4$–$5$ i trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $2$ mają to samo pole $6$, ale nie są podobne.

Odpowiedź: A. miały dwa odpowiednio równe kąty.

Krok 1 — skala. Obwody mają się jak skala:

$$k=\frac{25}{15}=\frac53$$

Krok 2 — stosunek pól:

$$k^2=\frac{25}{9}$$

Odpowiedź: $k=\frac53$, stosunek pól $\frac{25}{9}$.

Krok 1 — twierdzenie Talesa. Prosta równoległa do boku dzieli pozostałe boki w tym samym stosunku:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{4}{6}=\frac{6}{EC}$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$4\cdot EC=36 \quad\Rightarrow\quad EC=9$$

Odpowiedź: $EC=9$.

Pole zmienia się jak kwadrat skali:

$$P_{\text{mniejszy}}=48\cdot\left(\tfrac12\right)^2=48\cdot\tfrac14=12\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podzielenie przez $2$ zamiast przez $4$ daje $24$ — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: D. $12$ cm$^2$.

Krok 1 — dlaczego to działa. Promienie słoneczne padają pod tym samym kątem, więc trójkąty „obiekt–cień” są podobne.

Krok 2 — proporcja:

$$\frac{h}{16}=\frac{1{,}5}{2}$$

Krok 3 — obliczenie:

$$h=\frac{1{,}5\cdot16}{2}=12\ \text{m}$$

Odpowiedź: drzewo ma $12$ m.

Sprawdzamy stosunki odpowiadających boków:

$$\frac93=3,\qquad \frac{12}{4}=3,\qquad \frac{15}{5}=3$$

Wszystkie równe, więc trójkąty są podobne w skali $3$ (cecha BBB dla podobieństwa).

Nie są przystające — mają różne rozmiary.

Odpowiedź: C. podobne w skali $k=3$.

Krok 1 — przeciwprostokątna pierwszego trójkąta:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — skala:

$$k=\frac{15}{10}=1{,}5$$

Krok 3 — przyprostokątne:

$$6\cdot1{,}5=9,\qquad 8\cdot1{,}5=12$$

Sprawdzenie: $\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ ✔

Odpowiedź: $9$ i $12$.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{50}{18}=\frac{25}{9}$$

Krok 2 — skala to pierwiastek ze stosunku pól:

$$k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac53$$

Uwaga: ze stosunku pól do skali przechodzimy przez pierwiastek, a nie przez zwykłe dzielenie.

Odpowiedź: $k=\frac53$.

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa, w którym skala wynosi dokładnie $1$ — wszystkie odpowiadające długości są równe.

Stąd: trójkąty przystające mają też równe pola ($k^2=1$).

Odpowiedź: A. są podobne w skali $k=1$.

Twierdzenie o wysokości. Wysokość jest średnią geometryczną odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną — wynika to z podobieństwa dwóch powstałych trójkątów do wyjściowego:

$$h=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $h=6$.

Objętości brył podobnych mają się jak sześcian skali:

$$\left(\frac{1}{50}\right)^3=\frac{1}{125\,000}$$

Zestawienie: długości jak $k$, pola jak $k^2$, objętości jak $k^3$. Odpowiedź C ($1:2500$) opisywałaby stosunek pól.

Odpowiedź: B. $1:125\,000$.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{135}{60}=\frac{9}{4}$$

Krok 2 — skala:

$$k=\sqrt{\frac94}=\frac32$$

Krok 3 — bok:

$$B'C'=12\cdot\frac32=18$$

Sprawdzenie: pole rośnie $\left(\frac32\right)^2=2{,}25$ razy, a $60\cdot2{,}25=135$ ✔

Odpowiedź: $18$.

Krok 1 — podobieństwo. Z $DE\parallel BC$ wynika, że trójkąt $ADE$ jest podobny do $ABC$ (mają wspólny kąt przy $A$ i równe kąty odpowiadające).

Krok 2 — skala:

$$k=\frac{AD}{AB}=\frac39=\frac13$$

Krok 3 — pole:

$$P_{ADE}=81\cdot\left(\tfrac13\right)^2=81\cdot\tfrac19=9$$

Warto zauważyć: bok skrócony trzykrotnie daje pole dziewięciokrotnie mniejsze.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — stosunek pól to kwadrat skali:

$$25\,000^2=625\,000\,000$$

Krok 2 — pole rzeczywiste w cm$^2$:

$$8\cdot625\,000\,000=5\,000\,000\,000\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — zamiana na metry kwadratowe ($1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$):

$$5\,000\,000\,000:10\,000=500\,000\ \text{m}^2$$

Krok 4 — hektary ($1$ ha $=10\,000$ m$^2$):

$$500\,000:10\,000=50\ \text{ha}$$

Odpowiedź: $50$ hektarów.