LekcjeRazem

Krok 1 — założenia: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac12$$

Krok 4 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot2x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad 4x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x-1=0$$

Krok 5 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=16+4=20,\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt5$$

$$x=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.

Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.