LekcjeRazem

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to jeden bok. Obwód wynosi $20$ cm, więc suma dwóch sąsiednich boków to $10$ cm, a drugi bok ma długość $10-x$.

Krok 2 — pole jako funkcja:

$$P(x)=x(10-x)=10x-x^2=-x^2+10x$$

Krok 3 — dziedzina. Boki muszą być dodatnie, więc $x\in(0,\,10)$.

Krok 4 — szukamy maksimum. Mamy $a=-1<0$, więc parabola ma wierzchołek na górze:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-10}{-2}=5$$

Wartość $x=5$ mieści się w dziedzinie. Pole wynosi wtedy:

$$P(5)=-25+50=25$$

Wniosek: drugi bok to $10-5=5$ cm — najkorzystniejszy prostokąt to kwadrat.

Odpowiedź: kwadrat o boku $5$ cm, pole największe $25$ cm$^2$.