LekcjeRazem

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że mamy jakieś trzy liczby, których suma daje wynik równy \(24\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \           ,\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Podstawiając teraz te zależności do początkowego równania, otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24 \           ,\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=24 \           ,\
3a_{1}+3r=24 \           ,\
a_{1}+r=8 \           ,\
a_{1}=8-r$$

To z kolei prowadzi nas do wniosku, że:
$$a_{2}=(8-r)+r \           ,\
a_{2}=8$$

$$a_{3}=(8-r)+2r \           ,\
a_{3}=8+r$$

Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz zapisane wcześniej równania, otrzymamy:
$$18^2=(8-r+4)^2\cdot(8+r+40)^2 \           ,\
324=(12-r)^2\cdot(48+r)^2 \           ,\
324=(12-r)\cdot(48+r) \           ,\
324=576+12r-48r-r^2 \           ,\
324=576-36r-r^2 \           ,\
r^2+36r-252=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Jest to postać ogólna, więc skorzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=36,\;c=-252\)
$$Δ=b^2-4ac=36^2-4\cdot1\cdot(-252)=1296-(-1008)=2304 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36-48}{2\cdot1}=\frac{-84}{2}=-42 \           ,\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36+48}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i wyznaczenie liczb tworzących ciąg.
Otrzymaliśmy dwie różne różnice, więc zastanówmy się, czy którąś z nich trzeba odrzucić.

Gdy \(r=-42\), to:
\(a_{1}=8-(-42)=8+42=50 \           ,\
a_{2}=50+(-42)=50-42=8 \           ,\
a_{3}=50+2\cdot(-42)=50-84=-34\)

Gdy \(r=6\), to:
\(a_{1}=8-6=2 \           ,\
a_{2}=2+6=8 \           ,\
a_{3}=8+6=14\)

Otrzymaliśmy dwa różne ciągi (jeden malejący, drugi rosnący) i żadnego z nich nie możemy wykluczyć (bo w treści zadania nie ma żadnej informacji o monotoniczności ciągu). Z tego też względu to zadanie ma dwa rozwiązania: \(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\).