LekcjeRazem

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases} S_{11}=187 \\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$ $$a_{9}=a_{1}+8r$$ $$a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11$$ $$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11$$ $$S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11$$ $$S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11$$ $$S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15$$ $$r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36$$ $$3a_{1}+10\cdot3=36$$ $$3a_{1}=6$$ $$a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r$$ $$a_{3}=2+2\cdot3$$ $$a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r$$ $$a_{k}=2+(k-1)\cdot3$$ $$a_{k}=2+3k-3$$ $$a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}$$ $$8^2=2\cdot(3k-1)$$ $$64=6k-2$$ $$66=6k$$ $$k=11$$