📄 Treść zadania
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240m^2\). Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350m^2\) oraz jest o \(5m\) dłuższy i \(2m\) szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(s\) - szerokość pierwszego basenu
\(d\) - długość pierwszego basenu
\(s+2\) - szerokość drugiego basenu
\(d+5\) - długość drugiego basenu
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie tych danych możemy stworzyć prosty układ równań.
\begin{cases}
sd=240 \ ,\
(s+2)(d+5)=350
\end{cases}
Wymnażamy wartości w nawiasach z drugiego równania:
\begin{cases}
sd=240 \ ,\
sd+5s+2d+10=350
\end{cases}
Podstawiamy \(sd=240\) z pierwszego równania do drugiego:
$$240+5s+2d+10=350 \ ,\
5s+2d=100$$
Skoro \(sd=240\), to \(s=\frac{240}{d}\). Podstawiamy to do naszego powyższego równania, otrzymując:
$$5\cdot\frac{240}{d}+2d=100 \ ,\
\frac{1200}{d}+2d=100$$
Teraz musimy wymnożyć równanie przez \(d\) i doprowadzić je do postaci ogólnej równania kwadratowego (czyli takiej, gdzie po prawej stronie będzie wartość \(0\)). Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z metody delty.
$$\frac{1200}{d}+2d=100 \quad\bigg/\cdot d \ ,\
1200+2d^2=100d \ ,\
2d^2-100d+1200=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-100,\;c=1200\)
$$Δ=b^2-4ac=(-100)^2-4\cdot2\cdot1200=10000-9600=400 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$
$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)-20}{2\cdot2}=\frac{80}{4}=20 \ ,\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-100)+20}{2\cdot2}=\frac{120}{4}=30$$
Krok 4. Interpretacja wyniku i wyznaczenie ostatecznych długości basenów.
Otrzymaliśmy dwie różne możliwości długości krótszego basenu. Obydwie są poprawne, nie możemy ich odrzucić. W związku z tym będziemy mieć także dwa warianty szerokości tego basenu:
• Jeśli \(d=20\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=12\), bo \(P=12\cdot20=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=12\times20\).
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(14\times25\).
• Jeśli \(d=30\), to szerokość pierwszego basenu musi być równa \(s=8\), bo \(P=8\cdot30=240\). W związku z tym wymiary pierwszego basenu to \(s\times d=8\times30\).
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to \((s+2)\times(d+5)\), czyli w tym przypadku będzie to \(10\times35\).