📄 Treść zadania
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5;\;a;\;b;\;b+2;\;9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
Krok 1. Zapisanie równań wynikających z własności ciągów.
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Skoro trzy pierwsze wyrazy, czyli \(4a-5;\;a;\;b\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Skoro trzy ostatnie wyrazy, czyli \(b;\;b+2;\;9\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$(b+2)^2=b\cdot9 \ ,\
b^2+4b+4=9b \ ,\
b^2-5b+4=0$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(b\).
Z zależności wynikającej z własności ciągów geometrycznych otrzymaliśmy równanie kwadratowe \(b^2-5b+4=0\). Rozwiązaniem tego równania będzie nasza niewiadoma \(b\). Skoro tak, to rozwiążmy to równanie, wykorzystując niezawodną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$b_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot1}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1 \ ,\
b_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot1}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$$
Wyszło nam więc, że są dwie możliwości \(b=1\) oraz \(b=4\) i żadnej z nich nie możemy wykluczyć. Obydwie otrzymane odpowiedzi są jak najbardziej prawidłowe.
Krok 3. Obliczenie wartości \(a\).
W pierwszym kroku korzystając z własności ciągów arytmetycznych otrzymaliśmy równanie \(a=\frac{4a-5+b}{2}\). Skoro znamy już wartość \(b\), to możemy teraz obliczyć wartość \(a\). Z racji tego, że otrzymaliśmy dwa warianty naszej liczby \(b\), to musimy to uwzględnić przy wyznaczaniu wartości \(a\):
Jeżeli \(b=1\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2} \ ,\
a=\frac{4a-5+1}{2} \ ,\
a=\frac{4a-4}{2} \ ,\
2a=4a-4 \ ,\
-2a=-4 \ ,\
a=2$$
Jeżeli \(b=4\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2} \ ,\
a=\frac{4a-5+4}{2} \ ,\
a=\frac{4a-1}{2} \ ,\
2a=4a-1 \ ,\
-2a=-1 \ ,\
a=\frac{1}{2}$$
I tu ponownie, żadnego rozwiązania nie możemy wykluczyć. To z kolei oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania: \(a=2, b=1\) lub też \(a=\frac{1}{2}, b=4\).