📄 Treść zadania
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_{4}, x^2+2, a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\).
Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg \(a_{n}\) i on jest określony wzorem \(\frac{5-3n}{7}\). Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma \(x\). Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\). W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw \(n=4\), a potem \(n=11\), zatem:
$$a_{4}=\frac{5-3\cdot4}{7}=\frac{5-12}{7}=\frac{-7}{7}=-1 \ ,\
a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=\frac{5-33}{7}=\frac{-28}{7}=-4$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Wartość \(x\) ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:
$$(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4) \ ,\
x^4+4x^2+4=4 \ ,\
x^4+4x^2=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z \(x^4\) oraz \(4x^2\) wartość \(x^2\), otrzymując:
$$x^2(x^2+4)=0$$
Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x^2=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \ ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$
Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje \(-4\)), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\).
Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
\(x=0\) to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest \(x^2+2\), czyli:
$$a_{2}=0^2+2 \ ,\
a_{2}=0+2 \ ,\
a_{2}=2$$
To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: \(-1, 2, -4\).
Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \ ,\
q=\frac{2}{-1} \ ,\
q=-2$$