📄 Treść zadania
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x-y-11=0\).
Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).
Zadanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Do zapisania równania okręgu potrzebujemy długości promienia. Długość promienia będzie równa odległości punktu \(S\) od prostej \(k\), zatem z pomocą przyjdzie nam wzór na odległość punktu od prostej:
$$r=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
\(A\), \(B\) oraz \(C\), pojawiające się we wzorze, to współczynniki równania prostej zapisanego w postaci ogólnej. Zatem u nas \(A=2\), \(B=-1\) oraz \(C=-11\). Skoro tak, to:
$$r=\frac{|2\cdot3-1\cdot(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \ ,\
r=\frac{|6-(-4)-11|}{\sqrt{4+1}} \ ,\
r=\frac{|6+4-11|}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{|-1|}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{1}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Wiemy już, że \(r=\frac{\sqrt{5}}{5}\). W treści zadania mamy podane współrzędne środka okręgu, czyli \(S=(3,-4)\). Podstawiając te dane do równania okręgu, otrzymamy:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ ,\
(x-3)^2+(y-(-4))^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \ ,\
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}$$
Zadanie 2.
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z poprzedniego punktu wiemy, że nasz okrąg wyraża się równaniem \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\). Naszym zadaniem jest poznanie współrzędnych punktu, który tak naprawdę jest punktem wspólnym okręgu i prostej \(k\), a więc pomocny będzie układ równań:
\begin{cases}
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5} \ ,\
y=2x-11
\end{cases}
Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(2x-11+4)^2=\frac{1}{5} \ ,\
(x-3)^2+(2x-7)^2=\frac{1}{5} \ ,\
x^2-6x+9+4x^2-28x+49=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+58=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+\frac{290}{5}=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+\frac{289}{5}=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Z pomocą przyjdzie nam oczywiście delta:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=\frac{289}{5}\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot\frac{289}{5}=1156-1156=0$$
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-34)}{2\cdot5}=\frac{34}{10}=3\frac{2}{5}$$
Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(P\).
Wiemy już, że współrzędna \(x=3\frac{2}{5}\). Potrzebujemy jeszcze współrzędnej \(y\), a obliczymy ją, podstawiając \(x=3\frac{2}{5}\) do jednego z równań z układu (np. równania \(y=2x-11\)), zatem:
$$y=2x-11 \ ,\
y=2\cdot3\frac{2}{5}-11 \ ,\
y=-4\frac{1}{5}$$
To oznacza, że \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\).