LekcjeRazem

Zadanie 1.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu opisujemy w następujący sposób:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Wartości \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Na początek wyznaczmy współrzędne tego środka. W tym celu musimy "dopasować" równanie z treści do postaci równania okręgu (w nawiasach muszą być minusy!), zatem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16 \           ,\
(x-2)^2+(y-(-3))^2=16$$

To oznacza, że \(S=(2;-3)\).

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Widzimy, że po prawej stronie równania mamy \(16\), a zgodnie z równaniem okręgu jest to wartość \(r^2\), zatem:
$$r^2=16 \           ,\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Ujemny wynik odrzucamy, bo promień okręgu musi mieć dodatnią długość. Zostaje nam zatem \(r=4\).

Zadanie 2.
Chcemy sprawdzić kiedy okrąg przetnie się z osią \(Ox\), czyli chcemy sprawdzić, dla jakich argumentów \(x\) otrzymamy wartość \(y=0\). Skoro tak, to podstawiając \(y=0\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(0+3)^2=16 \           ,\
(x-2)^2+3^2=16 \           ,\
(x-2)^2+9=16 \           ,\
(x-2)^2=7$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Nie jest to postać iloczynowa, ponieważ po prawej stronie nie mamy zera, więc nie możemy przyrównać wartości w nawiasie do zera. Najprościej będzie spierwiastkować obydwie strony równania i rozwiązać powstałe równanie z wartością bezwzględną:
$$|x-2|=\sqrt{7} \           ,\
x-2=\sqrt{7} \quad\lor\quad x-2=-\sqrt{7} \           ,\
x=2+\sqrt{7} \quad\lor\quad x=2-\sqrt{7}$$

Jeżeli nie dostrzegliśmy takiej możliwości, to śmiało można całość rozpisać, doprowadzić do postaci ogólnej i policzyć wszystko deltą:
$$x^2-4x+4=7 \           ,\
x^2-4x-3=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16-(-12)=28 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4-2\sqrt{7}}{2}=2-\sqrt{7} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4+2\sqrt{7}}{2}=2+\sqrt{7}$$

To oznacza, że okrąg przecina się z osią \(Ox\) wtedy, gdy \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\).