Baza wzorów matematycznych i fizycznych
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Nierówność |x| < a
Rozwiązaniem jest przedział wokół zera.
Przykład: $|x-2|<3\iff -1
Równanie wykładnicze
Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy.
Przykład: $4^x=8$: $2^{2x}=2^3$, więc $x=\frac{3}{2}$.
Pierwiastki całkowite
Całkowitych pierwiastków szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego.
Przykład: $x^3-6x^2+11x-6$: kandydaci $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$; pierwiastki $1,2,3$.
Pierwiastki wymierne
Kandydaci na pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Przykład: $2x^2-x-1$: kandydaci $\pm1,\pm\frac{1}{2}$; pierwiastki $1$ i $-\frac{1}{2}$.
Proporcjonalność odwrotna
Ile razy wzrośnie $x$, tyle razy zmaleje $y$; wykres to hiperbola.
Przykład: 4 pracowników — 6 dni, więc 8 pracowników — 3 dni ($xy=24$).
Pierwiastek n-tego stopnia
Pierwiastki dowolnego stopnia można zapisać jako potęgi o wykładniku wymiernym.
Przykład: $\sqrt[4]{16}=2$, $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$.
Symetria punktu
Obrazy punktu w symetrii względem osi i początku układu.
Przykład: $P(3,-2)$: względem $Ox$ — $(3,2)$, względem $O$ — $(-3,2)$.
Granice podstawowych ciągów
Podstawowe granice używane przy obliczaniu granic ciągów.
Przykład: $\lim\frac{3n+1}{n}=\lim\left(3+\frac1n\right)=3$.
Wielomian stopnia n
Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej.
Przykład: $W(x)=2x^3-x+5$ ma stopień 3.
Równanie stycznej do wykresu
Styczna w punkcie $(x_0,f(x_0))$ ma współczynnik kierunkowy $f^{\prime}(x_0)$.
Przykład: $f(x)=x^2$, $x_0=1$: $y=2(x-1)+1=2x-1$.
Ciepło topnienia i parowania
Do czego służy: Obliczanie energii potrzebnej do zmiany stanu skupienia (topnienie, parowanie) lub oddawanej przy krzepnięciu/skraplaniu — bez zmiany temperatury!
Zmienne
- $Q$ — ciepło (J)
- $m$ — masa (kg)
- $L_t$ — ciepło topnienia substancji [J/kg]; lód: $L_t = 334\,000$ J/kg
- $L_p$ — ciepło parowania [J/kg]; woda: $L_p = 2\,260\,000$ J/kg
Uwaga kluczowa
Podczas topnienia i parowania temperatura nie zmienia się! Ciepło jest zużywane wyłącznie na zmianę stanu skupienia (zrywanie wiązań między cząsteczkami).
Pełny bilans (ogrzewanie + topnienie)
$$Q = mc(T_t - T_0) + mL_t + mc'(T_f - T_t)$$
Przykład
Ile ciepła potrzeba do stopienia 500 g lodu w 0°C?
- $Q = 0{,}5 \cdot 334\,000 = 167\,000$ J $= 167$ kJ
⚠️ Częsty błąd: Ciepło topnienia/parowania to dodatkowe ciepło, ponad to, które zużywasz na samo ogrzewanie. Jeśli lód jest w −20°C, najpierw ogrzejesz do 0°C ($Q = mc\Delta T$), potem dopiero roztopisz ($Q = mL_t$).
Ciepło właściwe
Do czego służy: Oblicza ile ciepła (J) trzeba dostarczyć (lub ile zostanie oddane) by zmienić temperaturę ciała o $\Delta T$.
Zmienne
- $Q$ — ciepło (J); $Q > 0$ — pobrane, $Q \lt 0$ — oddane
- $m$ — masa ciała (kg)
- $c$ — ciepło właściwe substancji [J/(kg·K)]; woda: $c = 4200$, żelazo: $c = 450$
- $\Delta T = T_k - T_p$ — zmiana temperatury (K lub °C, wartości różnicy są równe)
Bilans cieplny
W układzie izolowanym: $\sum Q_i = 0$ (ciepło oddane = ciepłu pobranemu):
$$m_1 c_1 (T_k - T_1) + m_2 c_2 (T_k - T_2) = 0$$
Przykład
Ile energii trzeba do podgrzania 2 kg wody od 20°C do 100°C?
- $\Delta T = 100 - 20 = 80 \text{ K}$
- $Q = 2 \cdot 4200 \cdot 80 = 672\,000 \text{ J} = 672 \text{ kJ}$
⚠️ Częsty błąd: $\Delta T$ możesz liczyć w stopniach Celsjusza (różnica jest taka sama jak w Kelwinach). Ale $c$ jest dla konkretnej substancji — nie używaj wartości dla wody do obliczania metalu!
Energia kinetyczna i potencjalna
Do czego służy: $E_k$ — energia ruchu; $E_p$ — energia związana z położeniem w polu grawitacyjnym. Zasada zachowania energii łączy je obydwie.
Zmienne
- $E_k$ — energia kinetyczna (J)
- $m$ — masa (kg)
- $v$ — prędkość (m/s)
- $E_p$ — energia potencjalna grawitacyjna (J)
- $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$
- $h$ — wysokość (m) względem przyjętego poziomu odniesienia
Zasada zachowania energii mechanicznej
Gdy brak sił dyssypacyjnych (brak tarcia): $E_k + E_p = \text{const}$
$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$
Jak stosować
- Ustal poziom odniesienia dla $h$ (często podłoga lub najniższy punkt)
- Wypisz energie w punkcie A i B
- Przyrównaj sumy (jeśli brak tarcia) lub uwzględnij straty: $W_{\text{tarcie}} = E_{kA} + E_{pA} - E_{kB} - E_{pB}$
Przykład
Kamień spada z $h = 5$ m (z $v_0 = 0$). Prędkość tuż przed ziemią?
- $mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10 \text{ m/s}$
⚠️ Częsty błąd: W $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ prędkość jest w metrach na sekundę — nie wstawiaj km/h! I pamiętaj o $\frac{1}{2}$.
Fotoefekt
Do czego służy: Opisuje zjawisko wybijania elektronów z metalu przez światło — dowód korpuskularnej natury światła (Einstein, Nagroda Nobla 1921).
Zmienne
- $E_k$ — energia kinetyczna wybitego elektronu (J)
- $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J·s — stała Plancka
- $f$ — częstotliwość światła (Hz)
- $W$ — praca wyjścia elektronu z metalu (J) — zależy od materiału
Energia fotonu
$$E_{\text{fotonu}} = hf = \frac{hc}{\lambda}$$
Kiedy zachodzi fotoefekt?
Tylko gdy $hf \geq W$, czyli gdy częstotliwość światła $f \geq f_{\min} = W/h$. Natężenie światła nie ma znaczenia — liczy się tylko częstotliwość.
Jak stosować
- Oblicz energię fotonu: $E = hf$ lub $E = hc/\lambda$
- Sprawdź czy $E > W$ (czy zajdzie fotoefekt)
- Oblicz energię kinetyczną: $E_k = hf - W$
Przykład
Światło $f = 10^{15}$ Hz pada na metal o $W = 3 \times 10^{-19}$ J. Energia elektronu?
- $E = hf = 6{,}63\times10^{-34} \cdot 10^{15} = 6{,}63\times10^{-19}$ J
- $E_k = 6{,}63\times10^{-19} - 3\times10^{-19} = 3{,}63\times10^{-19}$ J
⚠️ Częsty błąd: Zwiększenie natężenia (jasności) światła nie zwiększy $E_k$ elektronu — tylko więcej elektronów zostanie wybitych. Większa $E_k$ wymaga większej częstotliwości.
I zasada termodynamiki
Do czego służy: Zasada zachowania energii dla układów termodynamicznych — energia wewnętrzna układu zmienia się gdy dostarcza się ciepło lub wykonuje się nad nim pracę.
Zmienne
- $\Delta U$ — zmiana energii wewnętrznej (J)
- $Q$ — ciepło dostarczone do układu ($Q > 0$) lub oddane ($Q \lt 0$)
- $W$ — praca wykonana nad układem ($W > 0$) lub przez układ ($W \lt 0$)
Uwaga o konwencji
Niektóre podręczniki piszą $\Delta U = Q - W$, gdzie $W$ to praca wykonana przez układ. Sprawdź konwencję w swoim podręczniku!
Dla przemiany izochorycznej ($V = \text{const}$)
Gaz nie zmienia objętości → nie wykonuje pracy → $W = 0$, więc $\Delta U = Q$
Sprawność silnika cieplnego
$$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \leq 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ gdzie $Q_1$ — ciepło pobrane, $Q_2$ — oddane, $T_1, T_2$ — temperatury źródeł.
Przykład
Gaz pobiera $Q = 500$ J i wykonuje pracę $W = 200$ J. Zmiana energii wewnętrznej?
- $\Delta U = Q - W_{\text{przez układ}} = 500 - 200 = 300 \text{ J}$
⚠️ Częsty błąd: Konwencja znaku! Praca przez układ to ujemna praca nad układem. Czytaj uważnie czy zadanie mówi o pracy „wykonanej przez gaz" czy „nad gazem".
II zasada Newtona
Do czego służy: Podstawowe prawo dynamiki — łączy siłę, masę i przyspieszenie. Jeśli na ciało działa wypadkowa sił $F$, ciało przyspiesza.
Zmienne
- $\vec{F}$ — wypadkowa siła (N = kg·m/s²)
- $m$ — masa ciała (kg) — stała
- $\vec{a}$ — przyspieszenie (m/s²) — w kierunku siły
Trzy zasady Newtona razem
- I zasada (inercji): $F = 0 \Rightarrow a = 0$ — ciało spoczywa lub porusza się jednostajnie prostoliniowo
- II zasada: $F = ma$ — wypadkowa siła powoduje przyspieszenie
- III zasada (akcja-reakcja): $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ — siły są równe co do wartości, przeciwne co do zwrotu
Jak stosować
- Narysuj diagram sił działających na ciało (opcjonalnie)
- Wyznacz wypadkową: $F = F_1 + F_2 + \ldots$ (wektory!)
- Podstaw do $a = \frac{F}{m}$
Przykład
Na ciało o masie 5 kg działa siła 20 N. Przyspieszenie?
- $a = \frac{F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \text{ m/s}^2$
⚠️ Częsty błąd: $F$ to wypadkowa wszystkich sił — np. siła napędowa minus tarcie. Nie wstawiaj tylko jednej siły gdy działa kilka naraz.
III zasada Keplera
Do czego służy: Obliczanie okresu obiegu planety lub promienia jej orbity — bez znajomości mas, tylko z porównania z inną planetą.
Zmienne
- $T_1, T_2$ — okresy obiegu obu planet (dowolna jednostka, byle ta sama)
- $a_1, a_2$ — wielkie półosie orbit (średnie odległości od Słońca)
Jak stosować
- Przyjmij planetę odniesienia: Ziemia ($T = 1$ rok, $a = 1$ j.a.)
- Dla badanej planety z $a_2$ oblicz: $T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$
- Lub odwrotnie: masz $T_2$ → oblicz $a_2 = a_1 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$
Przykład
Mars ma $a = 1{,}52$ j.a. Jaki jest jego rok?
- $T_{\text{Mars}} = 1^{\text{rok}} \cdot (1{,}52)^{3/2} = (1{,}52)^{1{,}5} \approx 1{,}87$ lat
⚠️ Częsty błąd: Wzór to $T^2 \propto a^3$, nie $T \propto a^3$. Stosunek kwadratów okresu = stosunkowi sześcianów półosi. Pomylenie potęg to częsty błąd na sprawdzianach.
Moc i energia prądu elektrycznego
Do czego służy: Obliczanie mocy urządzenia elektrycznego oraz energii zużytej w czasie. Podstawa rachunków za prąd.
Zmienne
- $P$ — moc (W = watt = V·A)
- $U$ — napięcie (V), $I$ — natężenie (A), $R$ — opór (Ω)
- $W$ — energia elektryczna (J)
- $t$ — czas (s)
Który wzór na moc wybrać?
- Znasz $U$ i $I$: $P = UI$
- Znasz $I$ i $R$: $P = I^2 R$
- Znasz $U$ i $R$: $P = U^2/R$
Przykład
Żarówka 60 W przy napięciu 230 V. Opór i natężenie prądu?
- $I = \frac{P}{U} = \frac{60}{230} \approx 0{,}26 \text{ A}$
- $R = \frac{U^2}{P} = \frac{230^2}{60} \approx 882 \text{ Ω}$
- Energia w 1 h: $W = 60 \cdot 3600 = 216\,000 \text{ J} = 0{,}06 \text{ kWh}$
⚠️ Częsty błąd: $1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \text{ J}$ — nie mylić kilowatogodzin z kilodżulami. Prąd elektryczny rachunki płacimy w kWh, nie w dżulach.
Pęd i zasada zachowania pędu
Do czego służy: Pęd opisuje „ilość ruchu" ciała. Zasada zachowania pędu jest kluczem do analizy zderzeń.
Zmienne
- $\vec{p}$ — pęd (kg·m/s)
- $m$ — masa (kg)
- $\vec{v}$ — prędkość (m/s)
Zasada zachowania pędu
W układzie izolowanym (bez zewnętrznych sił): $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\prime} + m_2 v_2^{\prime}$
Jak stosować
- Wypisz pędy przed zderzeniem: $p_1 = m_1 v_1$, $p_2 = m_2 v_2$
- Oblicz sumę: $p_{\text{przed}} = p_1 + p_2$
- Po zderzeniu suma się zachowuje: $p_{\text{po}} = p_{\text{przed}}$
- Zderzenie niesprężyste doskonałe: ciała łączą się → $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)v^{\prime}$
Przykład
Wózek 2 kg ($v_1 = 4$ m/s) uderza w spoczywający wózek 3 kg i łączą się. Prędkość po?
- $p_{\text{przed}} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8 \text{ kg·m/s}$
- $(2+3)v^{\prime} = 8 \Rightarrow v^{\prime} = 1{,}6 \text{ m/s}$
⚠️ Częsty błąd: Pęd to wektor — kierunki mają znaczenie! Ciało jadące w przeciwnym kierunku ma pęd ujemny. Ustal konwencję znaku.
Podstawowy wzór falowy
Do czego służy: Podstawowy związek łączący prędkość fali z jej długością i częstotliwością — dotyczy fal mechanicznych i elektromagnetycznych.
Zmienne
- $v$ — prędkość fali (m/s)
- $\lambda$ (lambda) — długość fali (m) — odległość między sąsiednimi grzbietami
- $f$ — częstotliwość (Hz = 1/s)
- $T = 1/f$ — okres drgań (s)
Stałe do zapamiętania
- Światło w próżni: $c = 3 \times 10^8$ m/s
- Dźwięk w powietrzu: $v \approx 340$ m/s
Jak stosować
- Wypisz dane: dwie z trzech (v, λ, f)
- Oblicz brakującą: $\lambda = v/f$, lub $f = v/\lambda$
- Pamiętaj: $v = \lambda f = \lambda/T$
Przykład
Stacja radiowa nadaje na 100 MHz. Długość fali?
- $f = 100 \times 10^6 = 10^8$ Hz, $v = c = 3 \times 10^8$ m/s
- $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3\times10^8}{10^8} = 3$ m
⚠️ Częsty błąd: Prędkość fali zależy od ośrodka, częstotliwość zależy od źródła. Gdy fala przechodzi do innego ośrodka — zmienia się $\lambda$ i $v$, ale $f$ pozostaje ta sama!
Pole elektryczne i potencjał
Do czego służy: Natężenie pola $E$ opisuje „siłę" pola w danym punkcie; potencjał $V$ to energia przypadająca na jednostkowy ładunek.
Zmienne
- $E$ — natężenie pola elektrycznego (V/m = N/C)
- $F$ — siła na ładunek próbny $q$ (N)
- $U$ — napięcie między okładkami (V)
- $d$ — odległość między okładkami (m)
- $V$ — potencjał (V)
- $k \approx 9 \times 10^9$, $Q$ — ładunek źródłowy, $r$ — odległość
Kondensator
- Pojemność: $C = \frac{Q}{U}$ (F — farad)
- Energia: $E_C = \frac{1}{2}CU^2$
Przykład
Kondensator: $d = 5$ mm, napięcie 100 V. Natężenie pola?
- $E = \frac{U}{d} = \frac{100}{0{,}005} = 20\,000 \text{ V/m}$
⚠️ Częsty błąd: $d$ w metrach (5 mm = 0,005 m). I nie mylić natężenia pola elektrycznego $E$ [V/m] z energią $E$ [J] — to dwa różne $E$!
Praca i moc
Do czego służy: Praca mierzy efektywne działanie siły — liczy się tylko składowa siły wzdłuż ruchu. Moc to szybkość wykonywania pracy.
Zmienne
- $W$ — praca (J = N·m)
- $F$ — siła (N)
- $s$ — droga (m)
- $\alpha$ — kąt między wektorem siły a wektorem przemieszczenia
- $P$ — moc (W = J/s)
- $t$ — czas (s)
Trzy ważne przypadki kąta
- $\alpha = 0°$: $\cos 0° = 1$ → $W = Fs$ (siła i ruch w tym samym kierunku)
- $\alpha = 90°$: $\cos 90° = 0$ → $W = 0$ (siła prostopadła do ruchu — zero pracy!)
- $\alpha = 180°$: $\cos 180° = -1$ → $W = -Fs$ (siła hamuje → praca ujemna)
Przykład
Ciągniemy walizkę siłą 50 N pod kątem 30° do poziomego podłoża przez 10 m. Praca?
- $W = 50 \cdot 10 \cdot \cos 30° = 500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 433 \text{ J}$
⚠️ Częsty błąd: Dźwig unosi ciężar pionowo (praca = $mgs$), ale jeśli ciężar jedzie poziomo na przenośniku taśmowym — grawitacja nie wykonuje pracy ($\alpha = 90°$)!
Prawo Coulomba
Do czego służy: Obliczanie siły elektrostatycznej między dwoma ładunkami punktowymi — odpowiednik prawa grawitacji dla ładunków.
Zmienne
- $F$ — siła (N)
- $k \approx 9 \times 10^9 \text{ N·m}^2/\text{C}^2$ — stała Coulomba
- $q_1, q_2$ — ładunki (C — kulombów)
- $r$ — odległość między ładunkami (m)
Kierunek siły
- Ładunki jednoimienne (++ lub −−): odpychają się
- Ładunki różnoimienne (+−): przyciągają się
Jak stosować
- Zidentyfikuj ładunki $q_1, q_2$ i odległość $r$
- Podstaw wartości bezwzględne do wzoru, oblicz $F$
- Określ kierunek (odpychanie/przyciąganie) z znaków ładunków
Przykład
Dwa ładunki $q_1 = 2 \times 10^{-6}$ C i $q_2 = 3 \times 10^{-6}$ C w odległości 0,1 m. Siła?
- $F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2\times10^{-6} \cdot 3\times10^{-6}}{0{,}01} = 9 \times 10^9 \cdot 6\times10^{-10} = 5{,}4 \text{ N}$
⚠️ Częsty błąd: Odległość do kwadratu — gdy $r = 0{,}1$ m, $r^2 = 0{,}01$ m², nie 0,1! I ładunki w kulombach (nie mikrokulambach).
Prawo odbicia i załamania światła
Do czego służy: Opisuje co dzieje się ze światłem na granicy dwóch ośrodków optycznych.
Zmienne
- $\alpha$ — kąt padania (od normalnej do powierzchni)
- $\beta$ — kąt odbicia
- $n_1, n_2$ — współczynniki załamania obu ośrodków ($n_{\text{powietrze}} \approx 1$, $n_{\text{woda}} = 1{,}33$, $n_{\text{szkło}} \approx 1{,}5$)
- $\alpha_2$ — kąt załamania
Całkowite wewnętrzne odbicie
Gdy światło przechodzi z gęstszego do rzadszego ośrodka ($n_1 > n_2$) i kąt padania przekracza kąt graniczny $\alpha_c$:
$$\sin\alpha_c = \frac{n_2}{n_1}$$
Jak stosować
- Narysuj normalną do powierzchni w punkcie padania
- Mierz kąty od normalnej (nie od powierzchni!)
- Zastosuj prawo Snella: $n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2$
Przykład
Promień świetlny pada z powietrza ($n_1 = 1$) na szkło ($n_2 = 1{,}5$) pod kątem 45°. Kąt załamania?
- $\sin\alpha_2 = \frac{1 \cdot \sin 45°}{1{,}5} = \frac{0{,}707}{1{,}5} = 0{,}471$
- $\alpha_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28°$
⚠️ Częsty błąd: Kąt padania mierz od normalnej do powierzchni, nie od samej powierzchni. Jeśli mierzysz od płaszczyzny, odejmij od 90°.
Strona 9 z 25 · 577 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.