Zadania z działu: Liczby, wyrażenia i dowody algebraiczne
Wybrane zadania z działu „Liczby, wyrażenia i dowody algebraiczne" — kliknij, aby zobaczyć treść i rozwiązanie.
✕ Wyczyść filtr działu „Liczby, wyrażenia i dowody algebraiczne"
Zadanie PR02.1
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge2ab$.
Zadanie PR02.10
Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a+b=1$. Wykaż, że $ab\le\tfrac14$ oraz $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\ge9$.
Zadanie PR02.2
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\dfrac1x\ge2$.
Zadanie PR02.3
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4$.
Zadanie PR02.4
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-4x+3\ge0$.
Zadanie PR02.5
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.
Zadanie PR02.6
Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=2$ oraz $a^2+b^2\le2$. Wykaż, że $a=b=1$.
Zadanie PR02.7
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)^3\ge4ab(a+b)$.
Zadanie PR02.8
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.
Zadanie PR02.9
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez $30$.
Zadanie 9
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie \(n^5-3n^4-n+19\) jest podzielne przez \(16\).
11 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.