$$c=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$$

Warto znać trójkę pitagorejską $8$–$15$–$17$.

Odpowiedź: B. $17$.

Obie wartości są równe $\frac{\sqrt3}{2}$:

$$\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

Odpowiedź: $\sqrt3\approx1{,}73$.

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Korzystamy ze wzoru:

$$P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Odpowiedź: C. $9\sqrt3$.

$$P=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot7\cdot10\cdot\frac12=17{,}5$$

Odpowiedź: $17{,}5$.

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\frac{100^\circ}{2}=50^\circ$$

Odpowiedź: A. $50^\circ$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{3-1}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z punktu $A$:

$$1=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=-2$$

$$y=3x-2$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot3-2=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-2$.

Krok 1 — promień z obwodu:

$$2\pi r=12\pi \quad\Rightarrow\quad r=6$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi r^2=36\pi$$

Odpowiedź: $36\pi\approx113$.

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot9\cdot10=90\pi$$

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu, wysokość zostaje w pierwszej potędze.

Odpowiedź: D. $90\pi$.

Krok 1 — przyprostokątne:

$$a=10\sin 30^\circ=5,\qquad b=10\cos 30^\circ=5\sqrt3$$

Krok 2 — pole (przyprostokątne są podstawą i wysokością):

$$P=\frac{5\cdot5\sqrt3}{2}=\frac{25\sqrt3}{2}\approx21{,}65$$

Odpowiedź: $\frac{25\sqrt3}{2}\approx21{,}7$.

$$S=\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{3+7}{2}\right)=(2,\,5)$$

Odpowiedź: B. $(2,\,5)$.

Krok 1 — bok. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=8\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=8$$

Krok 2 — pole:

$$P=8^2=64$$

Odpowiedź: bok $8$, pole $64$.

$$V=\frac13 P_p H=\frac13\cdot30\cdot9=90$$

Pułapka: odpowiedź B ($270$) to objętość graniastosłupa o tych samych wymiarach.

Odpowiedź: A. $90$.

$$d=\frac{|4\cdot2-3\cdot3+5|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|8-9+5|}{5}=\frac{4}{5}=0{,}8$$

Odpowiedź: $d=0{,}8$.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}$$

Kąt jest ostry, więc cosinus dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{15}{17}$$

Rozpoznanie: trójka $8$–$15$–$17$.

Odpowiedź: $\frac{15}{17}$.

Ze wzoru $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: skoro mamy $(x+2)=(x-(-2))$, to $a=-2$; z $(y-5)$ wynika $b=5$.

$$S=(-2,\,5),\qquad r=3$$

Odpowiedź: C. $(-2,\,5)$.

Krok 1 — odcinek odcięty przy podstawie. Różnica podstaw dzieli się równo na dwie strony:

$$\frac{10-4}{2}=3$$

Krok 2 — wysokość z twierdzenia Pitagorasa. Ramię jest przeciwprostokątną:

$$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{(10+4)\cdot4}{2}=28$$

Odpowiedź: wysokość $4$, pole $28$.

Objętość:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot216=288\pi$$

Pole powierzchni:

$$P=4\pi r^2=4\pi\cdot36=144\pi$$

Przybliżenia: $V\approx905$, $P\approx452$.

Odpowiedź: $V=288\pi$, $P=144\pi$.