Funkcja $3x+1$ jest wielomianem, a wielomiany są ciągłe w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Dla funkcji ciągłej granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:

$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=3\cdot2+1=7$$

Odpowiedź: B. $7$.

Krok 1 — sprawdzamy podstawienie. Otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$, więc trzeba przekształcić wyrażenie.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \qquad (x\neq3)$$

Krok 3 — teraz podstawiamy:

$$\lim_{x\to 3}(x+3)=6$$

Ważne: skracanie jest dozwolone, bo w granicy $x$ dąży do $3$, ale nigdy nie jest równe $3$.

Odpowiedź: $6$.

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, mianownik staje się coraz większy, a cały ułamek coraz mniejszy:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$

Interpretacja geometryczna: prosta $y=0$ (oś OX) jest asymptotą poziomą wykresu funkcji $\frac1x$ — wykres zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka.

Odpowiedź: $0$.

Przy granicy w nieskończoności dla ilorazu wielomianów porównujemy stopnie. Tutaj oba są stopnia $2$, więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=\frac{3}{1}=3$$

Sposób rachunkowy — dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$\frac{3+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{3+0}{1-0}=3$$

Odpowiedź: C. $3$.

Porównujemy stopnie. Licznik jest stopnia $1$, mianownik stopnia $2$ — mianownik rośnie znacznie szybciej.

Rachunek — dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{0+0}{1+0}=0$$

Reguła ogólna: gdy stopień licznika jest mniejszy niż mianownika, granica w nieskończoności wynosi $0$.

Odpowiedź: $0$.

Porównujemy stopnie. Licznik ma stopień $3$, mianownik $2$ — licznik rośnie szybciej.

Rachunek — dzielimy przez $x^2$ (najwyższa potęga mianownika):

$$\frac{x-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} \ \longrightarrow \ \frac{\infty}{1}=\infty$$

Reguła ogólna: gdy stopień licznika jest większy, granica jest niewłaściwa (nieskończoność).

Odpowiedź: $+\infty$.

Ciągłość w punkcie wymaga trzech rzeczy naraz:

• $f(x_0)$ istnieje (punkt należy do dziedziny)
• granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ istnieje
• obie wartości są równe

Warunek A zawiera wszystkie trzy — sam zapis wymaga istnienia obu stron i ich równości.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy na czynniki.

Krok 2 — rozkłady:

$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-x=x(x-1)$$

Krok 3 — skracamy $(x-1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$$

Krok 4 — podstawiamy $x=1$:

$$\frac{1+1}{1}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie wartości funkcji „uciekają” do nieskończoności — wystarczy, że dzieje się to z jednej strony.

Typowy przypadek: zerowanie mianownika przy niezerowym liczniku, np. $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ma asymptotę pionową $x=2$.

Uwaga: $f(2)=0$ oznaczałoby miejsce zerowe, czyli coś zupełnie innego.

Odpowiedź: D.

Asymptota pozioma to granica funkcji w nieskończoności.

Stopnie licznika i mianownika są równe (oba $1$), więc granica to iloraz współczynników przy $x$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2}{1}=2$$

Ta sama wartość wychodzi przy $x\to-\infty$, więc:

$$y=2$$

Dla porządku: ta funkcja ma też asymptotę pionową $x=1$ (zerowanie mianownika).

Odpowiedź: asymptota pozioma $y=2$.

Granica prawostronna ($x$ dąży do zera od wartości dodatnich). Mianownik jest mały i dodatni, więc ułamek rośnie nieograniczenie:

$$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$$

Granica lewostronna ($x$ dąży do zera od wartości ujemnych). Mianownik jest mały i ujemny:

$$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$$

Wniosek: granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $0$ nie istnieje. Prosta $x=0$ jest asymptotą pionową.

Odpowiedź: $+\infty$ oraz $-\infty$; granica obustronna nie istnieje.

Granica obustronna istnieje dokładnie wtedy, gdy funkcja „dochodzi do tej samej wartości” z obu stron:

$$\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)$$

Uwaga: funkcja nie musi być określona w samym $x_0$ — granica bada zachowanie w otoczeniu punktu, a nie w nim samym.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Usuwamy niewymierność, mnożąc przez sprzężenie mianownika:

$$\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$$

Krok 2 — mianownik upraszcza się do różnicy kwadratów:

$$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$$

Krok 3 — skracamy $(x-4)$:

$$\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}=\sqrt{x}+2$$

Krok 4 — podstawiamy $x=4$:

$$\sqrt{4}+2=2+2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Ciągłość w punkcie $2$ wymaga równości granic jednostronnych i wartości funkcji.

Krok 1 — granica lewostronna (dla $x<2$ obowiązuje wzór $x+1$):

$$\lim_{x\to 2^{-}}(x+1)=3$$

Krok 2 — granica prawostronna i wartość funkcji (dla $x\ge2$ funkcja jest stała i równa $a$):

$$\lim_{x\to 2^{+}}a=a,\qquad f(2)=a$$

Krok 3 — przyrównujemy:

$$a=3$$

Odpowiedź: $a=3$.

Stopnie licznika i mianownika są równe ($3$), więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\frac{5}{2}=2{,}5$$

Pułapka: odpowiedź D bierze tylko licznik — trzeba podzielić przez współczynnik mianownika.

Odpowiedź: C. $2{,}5$.