Liczba pierwiastków zależy od znaku wyróżnika:

$$\Delta>0 \ \Rightarrow\ \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \ \Rightarrow\ \text{jeden (podwójny)},\quad \Delta<0 \ \Rightarrow\ \text{brak}$$

Odpowiedź: B. $\Delta>0$.

Krok 1 — warunek: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=16-4m$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$16-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=4$$

Sprawdzenie: $x^2-4x+4=(x-2)^2$, pierwiastek podwójny $x=2$ ✔

Odpowiedź: $m=4$.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=4-4m>0 \quad\Rightarrow\quad 4>4m \quad\Rightarrow\quad m<1$$

Odpowiedź: $m<1$, czyli $m\in(-\infty,\ 1)$.

Brak pierwiastków oznacza $\Delta<0$:

$$\Delta=36-4m<0 \quad\Rightarrow\quad 36<4m \quad\Rightarrow\quad m>9$$

Odpowiedź: C. $m>9$.

Równanie jest kwadratowe, gdy współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera:

$$m\neq0$$

Uwaga. Dla $m=0$ równanie staje się liniowe ($-3x+1=0$), a nie kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie w zadaniach z parametrem przy $x^2$.

Odpowiedź: $m\neq0$.

Warunek $\Delta=0$:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m^2=36 \quad\Rightarrow\quad m=\pm6$$

Uwaga: równanie kwadratowe względem $m$ daje dwa rozwiązania — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: A. $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — warunek: $\Delta\ge0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=4-4(m-3)=4-4m+12=16-4m$$

Krok 3 — nierówność:

$$16-4m\ge0 \quad\Rightarrow\quad m\le4$$

Uwaga na sformułowanie. „Co najmniej jeden pierwiastek” obejmuje przypadek pierwiastka podwójnego, więc bierzemy nierówność nieostrą $\ge$.

Odpowiedź: $m\le4$.

Krok 1 — trzy warunki: $\Delta>0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=m^2-16>0 \quad\Rightarrow\quad m<-4 \ \text{lub}\ m>4$$

Krok 3 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=4>0 \quad\Rightarrow\quad \text{zawsze spełnione}$$

Krok 4 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m>0$$

Krok 5 — część wspólna. Łączymy $m>4$ (z wyróżnika i sumy):

$$m>4$$

Uwaga. Warunek $m<-4$ z wyróżnika odpada, bo kłóci się z $m>0$.

Odpowiedź: $m>4$.

Parabola o ramionach w górę leży w całości nad osią, gdy nie ma pierwiastków, czyli $\Delta<0$:

$$\Delta=4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Interpretacja. Brak pierwiastków oznacza, że wykres nie dotyka osi $OX$ — a skoro ramiona idą w górę, cała parabola jest dodatnia.

Odpowiedź: D. $m>1$.

Krok 1 — warunek na przeciwne znaki. Pierwiastki mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny:

$$x_1 x_2<0$$

Krok 2 — iloczyn ze wzoru Viète'a:

$$x_1 x_2=m<0$$

Krok 3 — czy trzeba sprawdzać wyróżnik. Gdy iloczyn pierwiastków jest ujemny, wyróżnik jest automatycznie dodatni — pierwiastki różnych znaków muszą być różne i rzeczywiste. Warunek $\Delta>0$ jest więc spełniony sam.

Odpowiedź: $m<0$.

Podstawiamy $b=m$, $c=m$:

$$\Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot1\cdot m=m^2-4m$$

Odpowiedź: B. $m^2-4m$.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik i nierówność:

$$m^2-4m>0 \quad\Rightarrow\quad m(m-4)>0$$

Krok 3 — rozwiązujemy nierówność kwadratową. Miejsca zerowe $m=0$ i $m=4$, ramiona w górę, więc iloczyn dodatni na zewnątrz pierwiastków:

$$m<0 \quad\text{lub}\quad m>4$$

$$m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$$

Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$.

Krok 1 — warunek. Parabola o ramionach w górę jest nieujemna wszędzie, gdy $\Delta\le0$:

$$\Delta=(-2m)^2-4\cdot9=4m^2-36\le0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4m^2\le36 \quad\Rightarrow\quad m^2\le9 \quad\Rightarrow\quad -3\le m\le3$$

Dlaczego $\le$, a nie $<$. Nierówność jest nieostra ($\ge0$), więc parabola może dotykać osi — dopuszczamy $\Delta=0$.

Odpowiedź: $m\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Dwa pierwiastki ujemne mają iloczyn dodatni:

$$x_1 x_2=m>0$$

Pełna analiza: suma $x_1+x_2=-4<0$ (spełnione), iloczyn $m>0$, wyróżnik $16-4m\ge0$ czyli $m\le4$. Razem: $00$.

Odpowiedź: A. $m>0$.

Krok 1 — suma ze wzoru Viète'a:

$$x_1+x_2=2m+1$$

Krok 2 — przyrównujemy do $7$:

$$2m+1=7 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. Dla $m=3$ równanie to $x^2-7x+3=0$, $\Delta=49-12=37>0$ ✔ — pierwiastki istnieją.

Odpowiedź: $m=3$.

Styczność do osi $OX$ oznacza dokładnie jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Interpretacja: wierzchołek paraboli leży wtedy na osi $OX$.

Odpowiedź: C. $\Delta=0$.

Krok 1 — wyróżnik. Tu $b=-2(m-1)$, więc:

$$\Delta=\bigl[-2(m-1)\bigr]^2-4\cdot1\cdot m^2=4(m-1)^2-4m^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$\Delta=4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2=4m^2-8m+4-4m^2=-8m+4$$

Krok 3 — warunek $\Delta>0$:

$$-8m+4>0 \quad\Rightarrow\quad 4>8m \quad\Rightarrow\quad m<\frac12$$

Uwaga na rachunek. Kluczowe było poprawne podniesienie $-2(m-1)$ do kwadratu — nawias i mnożnik $4$ łatwo pogubić. Wyrazy z $m^2$ skróciły się, więc wyróżnik okazał się liniowy.

Odpowiedź: $m<\frac12$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki.

Wyróżnik $\Delta\ge0$:

$$m^2-4(m+3)\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2-4m-12\ge0$$

Miejsca zerowe $m=-2$ i $m=6$, więc $m\le-2$ lub $m\ge6$.

Suma $>0$:

$$x_1+x_2=m>0$$

Iloczyn $>0$:

$$x_1 x_2=m+3>0 \quad\Rightarrow\quad m>-3$$

Krok 2 — część wspólna trzech warunków. Z sumy $m>0$, z iloczynu $m>-3$ (słabsze), z wyróżnika $m\le-2$ lub $m\ge6$. Łącząc z $m>0$:

$$m\ge6$$

Sprawdzenie dla $m=6$: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, pierwiastek podwójny $x=3>0$ ✔

Odpowiedź: $m\ge6$.

Przypadek 1: $m=0$. Nierówność redukuje się do $2x+1>0$, czyli $x>-\frac12$ — nie zachodzi dla wszystkich $x$. Odrzucamy.

Przypadek 2: $m\neq0$. Aby parabola była zawsze dodatnia, potrzeba ramion w górę i braku pierwiastków:

• $m>0$ — ramiona w górę,
• $\Delta<0$ — brak miejsc zerowych.

Wyróżnik:

$$\Delta=4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Część wspólna: $m>0$ i $m>1$ daje $m>1$.

Wniosek. Warunek $m>1$ pochłania $m>0$, a przypadek $m=0$ odpadł osobno. Zawsze trzeba go rozpatrzyć oddzielnie, bo dla $m=0$ wyrażenie przestaje być kwadratowe.

Odpowiedź: $m>1$.