Przy skali podobieństwa $k$ pola pozostają w stosunku $k^2$:

$$k^2=3^2=9$$

Zapamiętaj: długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, objętości $k^3$ razy.

Odpowiedź: C. $9:1$.

Pole rośnie w kwadracie skali:

$$P_2=k^2\cdot P_1=4\cdot12=48\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pomnożenie pola tylko przez $2$ (czyli przez $k$, a nie $k^2$).

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Podnosimy stosunek boków do kwadratu:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}$$

Odpowiedź: pola mają się jak $4:25$.

Skala to pierwiastek ze stosunku pól:

$$k=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}$ ✔

Odpowiedź: B. $\frac45$.

Skala to stosunek odpowiadających sobie boków:

$$k=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Odpowiedź: $k=1{,}5$.

Cecha podobieństwa kąt–kąt: jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne (trzeci kąt wychodzi automatycznie, bo suma wynosi $180^\circ$).

Uwaga: równe pola nie gwarantują podobieństwa — figury mogą mieć zupełnie inny kształt.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{50}{18}=\frac{25}{9}$$

Krok 2 — skala to pierwiastek:

$$k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$$

Odpowiedź: $k=\frac53$.

Pola rosną w kwadracie skali:

$$P=12\cdot50^2=12\cdot2500=30\,000\ \text{cm}^2$$

Zamiana jednostek: $30\,000$ cm$^2=3$ m$^2$.

Częsty błąd: pomnożenie tylko przez $50$ — dałoby to $600$ cm$^2$, czyli wynik $50$ razy za mały.

Odpowiedź: $30\,000$ cm$^2$, czyli $3$ m$^2$.

Objętości rosną w sześcianie skali:

$$k^3=2^3=8$$

Sprawdzenie: sześcian o krawędzi $1$ ma objętość $1$, a o krawędzi $2$ — objętość $8$ ✔

Odpowiedź: D. $8$ razy.

Kluczowe: obwód to suma długości, więc zmienia się w skali $k$ (nie $k^2$ jak pole).

$$O_{DEF}=k\cdot O_{ABC}=\frac13\cdot36=12\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $12$ cm.

W figurach podobnych:

• długości (boki, obwody, wysokości) — skala $k$
• pola — skala $k^2$
• objętości — skala $k^3$
• kąty — nie zmieniają się wcale

Odpowiedź: C. obwody i długości boków.

Krok 1 — skala ze stosunku obwodów:

$$k=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$$

Krok 2 — stosunek pól to $k^2$:

$$k^2=\frac{25}{9}$$

Krok 3 — pole większego:

$$P=18\cdot\frac{25}{9}=2\cdot25=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

Krok 1 — trójkąty są podobne. $DE\parallel BC$, więc kąty są równe (cecha kąt–kąt).

Krok 2 — skala podobieństwa:

$$k=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{4+6}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Krok 3 — stosunek pól:

$$\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=k^2=\frac{4}{25}$$

Uwaga: w mianowniku skali jest cały bok $AB=10$, a nie sam odcinek $DB$.

Odpowiedź: $\frac{4}{25}$.

Skoro pola rosną $k^2$ razy, to:

$$k^2=4 \quad\Rightarrow\quad k=2$$

Boki są $2$ razy dłuższe.

Odpowiedź: B. $2$ razy.

Krok 1 — pola rosną w kwadracie skali:

$$P=6\cdot1000^2=6\cdot1\,000\,000=6\,000\,000\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — zamiana na metry kwadratowe ($1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$):

$$6\,000\,000:10\,000=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $600$ m$^2$.

Figury przystające to szczególny przypadek figur podobnych — o skali podobieństwa równej $1$.

Mają wtedy równe wszystkie odpowiadające boki i kąty.

Odpowiedź: A. tak, w skali $k=1$.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{48}{27}=\frac{16}{9}$$

Krok 2 — skala podobieństwa:

$$k=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$$

Krok 3 — odpowiadający bok:

$$6\cdot\frac43=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\left(\frac86\right)^2=\frac{64}{36}=\frac{16}{9}$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

Krok 1 — skala:

$$k=\frac{15}{5}=3$$

Krok 2 — pozostałe boki:

$$3\cdot3=9,\qquad 4\cdot3=12$$

Krok 3 — obwód (rośnie w skali $k$):

$$O=9+12+15=36$$

Krok 4 — pole. Trójkąt jest prostokątny, więc:

$$P=\frac{9\cdot12}{2}=54$$

Sprawdzenie skalą: pole pierwotne to $\frac{3\cdot4}{2}=6$, a $6\cdot k^2=6\cdot9=54$ ✔

Odpowiedź: boki $9$, $12$, $15$; obwód $36$; pole $54$.