W modelu liniowym $K(x)=ax+b$ wyraz wolny $b$ to wartość dla $x=0$ — tutaj koszt przy zerze kilometrów, czyli opłata początkowa.

Współczynnik $a=3$ to cena za każdy kilometr.

Odpowiedź: B. opłatę początkową.

Podstawiamy $x=10$:

$$K(10)=3\cdot10+8=30+8=38$$

Odpowiedź: koszt to $38$ zł.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja maleje}$$

Odpowiedź: funkcja maleje.

Dla $a=0$ wzór upraszcza się do $f(x)=b$ — wartość jest taka sama dla każdego $x$, więc funkcja jest stała. Wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: C. wynosi zero.

Opłata stała to wyraz wolny, stawka godzinowa to współczynnik kierunkowy:

$$W(x)=20x+50$$

Odpowiedź: $W(x)=20x+50$.

Rozwiązujemy równanie $W(x)=210$:

$$20x+50=210$$

$$20x=160 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $20\cdot8+50=210$ ✔

Odpowiedź: trzeba przepracować $8$ godzin.

Na osi OX zeruje się $y$, więc rozwiązujemy $2x-6=0$:

$$x=3$$

Punkt to $(3,\,0)$ — to zarazem miejsce zerowe funkcji.

Odpowiedź: A. $(3,\,0)$.

Krok 1 — funkcja. Woda ubywa, więc współczynnik jest ujemny:

$$V(t)=100-5t$$

Krok 2 — zbiornik pusty przy $V(t)=0$:

$$100-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=20$$

Odpowiedź: $V(t)=100-5t$; zbiornik będzie pusty po $20$ minutach.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. W parze D oba wynoszą $2$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — modele:

$$K_1(x)=2x+15,\qquad K_2(x)=4x+5$$

Krok 2 — przyrównujemy:

$$2x+15=4x+5$$

$$10=2x \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Sprawdzenie: $K_1(5)=25$, $K_2(5)=25$ ✔

Interpretacja: do $5$ km tańsza jest druga firma, powyżej — pierwsza.

Odpowiedź: przy $5$ km koszt jest równy ($25$ zł).

$$a=\frac{5-2}{1-0}=\frac{3}{1}=3$$

Współczynnik kierunkowy to przyrost wartości przy wzroście argumentu o $1$.

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy (tempo zmian):

$$a=\frac{50-80}{5-2}=\frac{-30}{3}=-10$$

Temperatura spada o $10^\circ$ na minutę.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $(2,\,80)$:

$$80=-10\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=100$$

$$T(t)=-10t+100$$

Interpretacja: $b=100$ to temperatura początkowa (dla $t=0$).

Odpowiedź: $T(t)=-10t+100$.

Funkcja rosnąca oznacza $a>0$ — prosta wznosi się. Dodatni wyraz wolny $b>0$ oznacza, że przecina oś OY powyżej zera (w punkcie $(0,\,b)$).

Odpowiedź: C.

Krok 1 — model oszczędności:

$$S(t)=80t+400$$

Krok 2 — rozwiązujemy $S(t)=1200$:

$$80t+400=1200 \quad\Rightarrow\quad 80t=800 \quad\Rightarrow\quad t=10$$

Sprawdzenie: $80\cdot10+400=1200$ ✔

Odpowiedź: po $10$ tygodniach.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$$m-3<0 \quad\Rightarrow\quad m<3$$

Odpowiedź: dla $m\in(-\infty,\,3)$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=-\tfrac13$:

$$-\tfrac13\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

Pierwszy dogania drugiego, gdy ich odległości od stacji są równe:

$$60t=40t+30$$

Rozwiązujemy:

$$20t=30 \quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\ \text{h}$$

Sprawdzenie: $d_1(1{,}5)=90$ km, $d_2(1{,}5)=60+30=90$ km ✔

Interpretacja: drugi pociąg miał przewagę $30$ km, ale pierwszy jedzie o $20$ km/h szybciej, więc nadrabia $30$ km w $1{,}5$ godziny.

Odpowiedź: po $1{,}5$ godziny.

Krok 1 — wyraz wolny. Wartość dla $x=0$ to $b$, więc $b=-8$.

Krok 2 — wykorzystujemy miejsce zerowe $x=4$ (wtedy $y=0$):

$$0=a\cdot4+(-8) \quad\Rightarrow\quad 4a=8 \quad\Rightarrow\quad a=2$$

$$y=2x-8$$

Sprawdzenie: $f(4)=8-8=0$ ✔, $f(0)=-8$ ✔

Odpowiedź: $y=2x-8$.