1. $x=\frac\pi3$ lub $x=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi3,\ \tfrac{2\pi}3$

1. $2x=\pm\frac\pi3+2k\pi \Rightarrow x=\pm\frac\pi6+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\pm\tfrac\pi6+k\pi,\ k\in\mathbb Z$

1. $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1$ lub $t=-\frac12$.
2. $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac\pi2$.
3. $\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}6$ lub $x=\frac{11\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi2,\ \tfrac{7\pi}6,\ \tfrac{11\pi}6$

1. $2\sin x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$.
2. $\cos x=0$: $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$.
3. $\sin x=\frac12$: $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2,\ \tfrac{5\pi}6,\ \tfrac{3\pi}2$

1. $2(1-\sin^2x)+3\sin x-3=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0$.
2. $\sin x=1$ lub $\sin x=\frac12$.
3. $x=\frac\pi2+2k\pi$; $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}6+2k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac\pi2+2k\pi$ lub $x=\tfrac\pi6+2k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

1. Gdyby $\cos x=0$, to $\sin^2x=0$ — sprzeczność z jedynką. Dzielimy przez $\cos^2x$:
2. $\operatorname{tg}^2x-(1+\sqrt3)\operatorname{tg} x+\sqrt3=0 \Rightarrow (\operatorname{tg} x-1)(\operatorname{tg} x-\sqrt3)=0$.
3. $\operatorname{tg} x=1 \Rightarrow x=\frac\pi4$; $\operatorname{tg} x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac\pi3$ (w $[0,\pi]$).

Odpowiedź: $\tfrac\pi4,\ \tfrac\pi3$

1. $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x=0$.
2. $\sin2x=0 \Rightarrow x=\frac{k\pi}2$; $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac\pi2+k\pi$ — zawiera się w poprzedniej serii.
3. Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}2$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{k\pi}2,\ k\in\mathbb Z$

1. $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0 \Rightarrow 2\cos^2x+3\cos x+1=0$.
2. $\cos x=-\frac12$ lub $\cos x=-1$.
3. $x=\frac{2\pi}3$, $\frac{4\pi}3$, $\pi$.

Odpowiedź: $\tfrac{2\pi}3,\ \pi,\ \tfrac{4\pi}3$

1. $2\sin5x\cos3x=\sin8x+\sin2x$.
2. Równanie: $\sin8x+\sin2x=\sin8x+\frac12 \Rightarrow \sin2x=\frac12$.
3. $2x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $2x=\frac{5\pi}6+2k\pi$, więc $x=\frac\pi{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}{12}+k\pi$, $k\in\mathbb Z$

1. $\sin x(2\sin x-1)\gt 0 \iff \sin x\lt 0$ lub $\sin x\gt \frac12$.
2. $\sin x\gt \frac12$: $x\in\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)$.
3. $\sin x\lt 0$: $x\in(\pi,2\pi)$.
4. Suma: $\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$

1. $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D daje $-1$.

1. $\cos0=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A daje $-1$.

1. $\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ i $\tfrac{\pi}{4}\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\cos=\tfrac{\sqrt3}{2}$, B daje $\cos=\tfrac12$, D daje $\cos=0$ i leży poza przedziałem.

1. $\sin x=0$ dla $x=k\pi$.
2. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$: $0$, $\pi$, $2\pi$ — trzy rozwiązania (końce należą do przedziału).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A i B pomijają rozwiązania na końcach przedziału, C myli z równaniem sprzecznym.

1. $\sin x=\tfrac12$.
2. W $\langle0,2\pi\rangle$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\tfrac{5\pi}{6}$