1. $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

1. $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$.

Odpowiedź: $\tfrac79$

1. $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$).
2. $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$.
2. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓.

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$

1. $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$.
2. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$.
3. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$

1. $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre).
2. $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$.
3. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$.

Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$.
2. Po odjęciu $2\sin\alpha\cos\alpha$ zostaje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B gubi jedynkę trygonometryczną, C nie odejmuje wyrazu środkowego, D gubi $\cos^2\alpha$.

1. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
2. $\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić, C skraca całe wyrażenie, D odwraca wynik.

1. $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$.
2. $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A myli $\sin$ z $\cos$, B skraca całe wyrażenie, D nie skraca przez $\sin\alpha$.

1. $\sin\alpha=\sqrt{1-\tfrac{25}{169}}=\tfrac{12}{13}$ (kąt ostry).
2. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{12}{5}$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to $\cot\alpha$, B to $\sin\alpha$, C to $\tfrac1{\sin\alpha}$.

1. $\tan\alpha=2\Rightarrow\sin\alpha=2\cos\alpha$.
2. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow 5\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos^2\alpha=\tfrac15$.
3. $\sin\alpha\cos\alpha=2\cos^2\alpha=\tfrac25$.

Odpowiedź: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\tfrac25$