1. Wyłączamy czynniki spod pierwiastków: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$, $\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$.
2. $6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to błąd $\sqrt{72}-\sqrt8=\sqrt{72-8}$ — pierwiastki odejmujemy dopiero po wyłączeniu wspólnego czynnika.

1. $\dfrac1{27}=3^{-3}$, więc $\left(3^{-3}\right)^{-\frac23}=3^{(-3)\cdot(-\frac23)}=3^{2}=9$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A i D — wykładnik ujemny nie zmienia znaku liczby; C — zgubiony minus w wykładniku (wyszłoby $3^{-2}$).

1. Sprowadzamy do podstawy $2$: $\dfrac1{16}=2^{-4}$, $8=2^3$.
2. $\left(2^{-4}\right)^5\cdot\left(2^3\right)^7=2^{-20}\cdot2^{21}=2^{1}=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięty minus przy $2^{-20}$; B — odwrotna kolejność odejmowania wykładników.

1. Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek iloczynu: $\sqrt[3]{-\dfrac{54}{125}\cdot4}=\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}}$.
2. $216=6^3$, $125=5^3$, a pierwiastek 3. stopnia z liczby ujemnej istnieje: $\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}}=-\dfrac65$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — zgubiony znak; B — spierwiastkowany tylko licznik; C — pomylony stopień pierwiastka.

1. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$: $\dfrac{6}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięte dzielenie przez $3$ w mianowniku.

1. Pod pierwiastkiem: $5\cdot5^{\frac13}=5^{1+\frac13}=5^{\frac43}$.
2. $\sqrt{5^{\frac43}}=\left(5^{\frac43}\right)^{\frac12}=5^{\frac23}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — zapomniany zewnętrzny pierwiastek; C — pomnożone wykładniki $\tfrac12\cdot\tfrac13$ zamiast dodania $1+\tfrac13$.

1. Wyłączamy najmniejszą potęgę: $2^{30}+2^{31}+2^{32}=2^{30}(1+2+4)=7\cdot2^{30}$.
2. $\dfrac{7\cdot2^{30}}{7\cdot2^{29}}=2^{30-29}=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A/B — dodane wykładniki w liczniku ($30+31+32=93$, potem $93-29=64$) — to błąd sumy potęg.

1. 1. $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$. $6^{10}\cdot5^4=2^{10}\cdot3^{10}\cdot5^{4}$ zawiera $2^2$, $3^2$ i $5^2$ — liczba jest podzielna przez $900$ (P).
2. 2. $36^3=(2^2\cdot3^2)^3=2^6\cdot3^6$, a w liczbie $2^8\cdot3^5$ czynnik $3$ występuje tylko w potędze $5\lt 6$ — liczba nie jest podzielna przez $36^3$ (F).

Odpowiedź: P, F

1. Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę: $3^{2026}+3^{2025}+3^{2024}=3^{2024}\left(3^2+3+1\right)$.
2. $3^2+3+1=13$, więc liczba jest równa $13\cdot3^{2024}$.
3. $3^{2024}$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba jest iloczynem $13$ i liczby całkowitej — jest podzielna przez $13$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. Sprowadzamy pierwiastki do wspólnego stopnia $6$: $a=3^{\frac13}=3^{\frac26}=\sqrt[6]{9}$, $b=2^{\frac12}=2^{\frac36}=\sqrt[6]{8}$, $c=\sqrt[6]{10}$.
2. Pierwiastek 6. stopnia jest funkcją rosnącą, więc wystarczy porównać liczby podpierwiastkowe: $8\lt 9\lt 10$.
3. Zatem $b\lt a\lt c$.

Odpowiedź: $b\lt a\lt c$

Wskazówka: Nie licz przybliżeń kalkulatorem — na maturze ważny jest argument: wspólny stopień pierwiastka.

1. $2^{3+2}=2^5=32$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? Wykładniki się dodaje.

1. $4^2=16$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $2^{3\cdot2}=2^6=64$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A dodaje wykładniki.

1. $3^{-1}=\tfrac13$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A myli z liczbą ujemną.

1. $2^{4-2}=2^2=4$.

Odpowiedź: $4$