1. III prawo Keplera w jednostkach au i lat: $T^2=a^3=64$.
2. $T=8$ lat.

Odpowiedź: $T=8$ lat

1. $F\propto\dfrac{1}{r^2}$, więc przy $r\to3r$ siła maleje $3^2=9$ razy.

Odpowiedź: $9$ razy

1. $T^2\propto r^3$, więc $T\propto r^{3/2}$.
2. Dla $r\to4r$: $T\to4^{3/2}T=8T$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? III prawo Keplera: $T\propto r^{3/2}$.

1. 1. W peryhelium prędkość jest największa — prawda.
2. 2. Wartość przyśpieszenia planetoidy jest stała — fałsz, $a=\tfrac{GM}{r^2}$ zmienia się.
3. 3. Moment pędu planetoidy względem Słońca jest stały — prawda (II prawo Keplera).

Odpowiedź: PFP

1. $a=\dfrac{r_P+r_A}{2}=\dfrac{1+9}{2}=5$ au.
2. $T=\sqrt{a^3}=\sqrt{125}\approx11{,}18$ roku.

Odpowiedź: $T\approx11{,}2$ roku

1. II prawo Keplera: $v_Pr_P=v_Ar_A$.
2. $v_A=42\cdot\dfrac{1}{9}\approx4{,}67\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_A\approx4{,}7\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$

1. $v_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{6{,}4\cdot10^6}}$.
2. $v_I=\sqrt{6{,}253\cdot10^7}\approx7{,}91\cdot10^3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\approx7{,}9\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_I\approx7{,}9\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$

1. $\dfrac{GM_Zm}{x^2}=\dfrac{GM_Km}{(d-x)^2}$, a $M_Z=81M_K$.
2. $\dfrac{81}{x^2}=\dfrac{1}{(d-x)^2} \Rightarrow \dfrac{9}{x}=\dfrac{1}{d-x}$.
3. $9d-9x=x \Rightarrow x=\dfrac{9d}{10}=0{,}9\cdot384\,400\approx345\,960$ km.

Odpowiedź: $x\approx346\,000$ km

1. $G\dfrac{Mm}{r^2}=m\omega^2r=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r \Rightarrow r^3=\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}$.
2. $T=86\,400$ s: $r^3=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot(8{,}64\cdot10^4)^2}{4\pi^2}$.
3. $r^3\approx7{,}57\cdot10^{22}\ \text{m}^3 \Rightarrow r\approx4{,}23\cdot10^7$ m (czyli ok. $36\,000$ km nad powierzchnią).

Odpowiedź: $r\approx4{,}2\cdot10^7$ m

1. III prawo Keplera: $\dfrac{T_B^2}{T_A^2}=\dfrac{r_B^3}{r_A^3} \Rightarrow T_B=T_A\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}$.
2. $T_B=344\cdot(1{,}0842)^{1{,}5}\approx344\cdot1{,}1288\approx388$ dób.
3. Prędkość na orbicie kołowej: $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$, więc $\dfrac{v_A}{v_B}=\sqrt{\dfrac{r_B}{r_A}}=\sqrt{1{,}0842}\approx1{,}041$.

Odpowiedź: $T_B\approx388$ dób; $\dfrac{v_A}{v_B}\approx1{,}04$

Wskazówka: Bliższa Słońcu sonda ma krótszy okres i większą prędkość — warto sprawdzić wynik jakościowo.