Sześcian liczby \(4\) to \(4^3\), czyli \(64\).

W mianownikach podanych ułamków mamy liczby \(15\) oraz \(25\). Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) tych liczb jest \(75\).

To oznacza, że hasłem do pliku będzie kod \(64T75\).

Sprawdźmy po kolei każde z wyrażeń.

Wyrażenie \(G\):
\(G=2x^2+2\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$G=2\cdot1^2+2 \           ,\
G=2\cdot1+2 \           ,\
G=2+2 \           ,\
G=4$$

Wyszedł nam wynik inny niż \(0\), więc już nawet nie musimy sprawdzać wartości dla \(x=-1\). Ta odpowiedź jest błędna.

Wyrażenie \(H\):
\(H=2x^2+2x\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$H=2\cdot1^2+2\cdot1 \           ,\
H=2\cdot1+2 \           ,\
H=2+2 \           ,\
H=4$$

Wyszedł nam wynik inny niż \(0\), więc już nawet nie musimy sprawdzać wartości dla \(x=-1\). Ta odpowiedź jest błędna.

Wyrażenie \(J\):
\(J=2x^2-2\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$J=2\cdot1^2-2 \           ,\
J=2\cdot1-2 \           ,\
J=2-2 \           ,\
J=0$$

\(J=2x^2-2\) dla \(x=-1\) przyjmuje wartość:
$$J=2\cdot(-1)^2-2 \           ,\
J=2\cdot1-2 \           ,\
J=2-2 \           ,\
J=0$$

W obydwu przypadkach wyszedł wynik równy \(0\), więc to jest na pewno poszukiwane wyrażenie.

Wyrażenie \(K\):
\(K=2x^2-2x\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$K=2\cdot1^2-2\cdot1 \           ,\
K=2\cdot1-2 \           ,\
K=2-2 \           ,\
K=0$$

\(K=2x^2-2x\) dla \(x=-1\) przyjmuje wartość:
$$K=2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1) \           ,\
K=2\cdot1-(-2) \           ,\
K=2-(-2) \           ,\
K=4$$

Otrzymaliśmy wynik inny niż \(0\), więc ta odpowiedź jest na pewno błędna.

Krok 1. Obliczenie grubości książki.
Z rysunku wynika, że na półce o wysokości \(21cm\) mieszczą się dwa rzędy książek, a w każdym z nich mamy po \(6\) książek ułożonych jedna na drugiej. Skoro tak, to grubość jednej książki jest równa:
$$21cm:6=3,5cm$$

Wygląda to więc mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby książek, które można zmieścić na drugiej półce.
Układamy książki jedna obok drugiej, każda z książek ma \(3,5cm\) grubości. Długość półki wynosi \(28cm\), zatem liczba książek, które się tam zmieszczą, wynosi:
$$28cm:3,5cm=8$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Tutaj powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{81}=9\) oraz że \(\sqrt{49}=7\). W takim razie wyrażenie \(\sqrt{81}-\sqrt{49}\) będzie równe:
$$\sqrt{81}-\sqrt{49}=9-7=2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{144}=12\) oraz że \(\sqrt{25}=5\). W takim razie wyrażenie \(\sqrt{144}+\sqrt{25}\) będzie równe:
$$\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=17$$

Jeżeli grusz jest o \(40\%\) więcej niż jabłoni, to moglibyśmy zapisać, że:
\(x\) - liczba jabłoni
\(1,4x\) - liczba grusz

Z treści zadania wynika też, że jabłoni jest o \(50\) mniej niż grusz, co pozwoli nam ułożyć następujące równanie:
$$1,4x-x=50 \           ,\
0,4x=50 \           ,\
x=125$$

To oznacza, że w sadzie rośnie \(125\) jabłoni.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{10^8}{5^8}=\left(\frac{10}{5}\right)^8=2^8$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Musimy doprowadzić te dwie potęgi albo do jednakowej podstawy, albo do jednakowego wykładnika. Tu powinniśmy dostrzec, że \(25=5^2\), co pozwoli nam rozpisać liczbę \(25^3\) jako:
$$25^3=\left(5^2\right)^3=5^{2\cdot3}=5^6$$

Teraz wracając do naszego iloczynu, moglibyśmy zapisać, że:
$$2^6\cdot25^3=2^6\cdot5^6=(2\cdot5)^6=10^6$$

Krok 1. Ustalenie pierwszego wyrażenia.
\(x\) powiększony o \(7\) to \(x+7\). Teraz ten wynik mamy zwiększyć \(4\)-krotnie, czyli zapisalibyśmy, że jest to równe \(4\cdot(x+7)\).

Krok 2. Ustalenie drugiego wyrażenia.
Liczba \(5\)-krotnie większa od \(y\) to \(5y\). Teraz ten wynik mamy powiększyć o \(3\), czyli otrzymamy \(5y+3\).

Poszukiwaną parą wyrażeń algebraicznych jest zatem \(4(x+7)\) oraz \(5y+3\).

Krok 1. Wyznaczenie figury, która znajduje się w podstawie ostrosłupa.
Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie miał \(n+1\) wierzchołków. Skoro nasz ostrosłup ma \(16\) wierzchołków, to:
$$n+1=16 \           ,\
n=15$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się piętnastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie miał \(2n\) wierzchołków. Skoro więc w podstawie mamy piętnastokąt, czyli \(n=15\), to liczba wierzchołków będzie równa:
$$2\cdot15=30$$

Krok 1. Odczytanie informacji ze skali mapy.
Skala \(1:4000\) oznacza, że \(1cm\) na mapie odpowiada odległości \(4000cm\) w rzeczywistości. Skoro \(100cm=1m\), to \(4000cm\) będzie równe \(40m\).

Krok 2. Obliczenie odległości między przystankami.
Skoro odległość między tymi przystankami na mapie wynosi \(8cm\), a każdy centymetr odpowiada \(40m\) w rzeczywistości, to odległość między przystankami jest równa:
$$8\cdot40m=320m$$