Liczby dwucyfrowe mniejsze od \(40\) to liczby od \(10\) do \(39\) włącznie. Wypiszmy teraz, które z tych liczb będą podzielne przez \(3\):
$$12,15,18,21,24,27,30,33,36,39$$

Z podanych liczb interesują nas tylko te, których suma cyfr jest większa od \(7\), czyli będą to liczby:
$$18,27,36,39$$

Łącznie są to więc \(4\) liczby.

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena wycieczki przed obniżką
\(x-0,2x=0,8x\) - cena wycieczki po obniżce o \(20\%\)

Skoro po obniżce koszt wycieczki wyniósł \(1500 zł\), to:
$$0,8x=1500zł$$ $$x=1875zł$$

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$3^5\cdot9^6=3^5\cdot(3^2)^6=3^5\cdot3^{2\cdot6}=3^5\cdot3^{12}=3^{5+12}=3^{17}$$

Nasze zadanie polega na przekształceniu podanego wzoru. Zaczynając od obustronnego odjęcia \(P_{b}\), otrzymamy:
$$P_{c}=2P_{p}+P_{b}$$ $$P_{c}-P_{b}=2P_{p}$$ $$P_{p}=\frac{P_{c}-P_{b}}{2}$$

Aby podane wielokąty mogły być bokami ostrosłupa, to podstawy trójkątów musiałyby być takie same jak boki prostokąta (i ten warunek jest akurat spełniony), a dodatkowo długości ramion tych trójkątów musiałyby mieć pary boków o jednakowej długości (i ten warunek nie został spełniony, przez co siatka graniastosłupa nam się nie domknie). To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie "Nie, ponieważ ramiona trójkąta \(T_{1}\) mają inną długość niż ramiona trójkąta \(T_{2}\)".

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb na cztery boki równej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(24 cm\), to każdy bok ma:
$$a=24cm:4$$ $$a=6cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie swojej długości, otrzymamy taką oto sytuację:


Można więc powiedzieć, że po dorysowaniu krótszej przekątnej powstały nam na rysunku dwa trójkąty równoboczne.

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej.
Z rysunku wynika, że do obliczenia długości dłuższej przekątnej przyda nam się wyznaczenie wysokości trójkąta równobocznego, który nam powstał. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{6\sqrt{3}cm}{2}$$ $$h=3\sqrt{3}cm$$

Dłuższa przekątna będzie dwa razy dłuższa od wysokości takiego trójkąta (co widać na rysunku), czyli będzie miała ona długość:
$$2\cdot3\sqrt{3}cm=6\sqrt{3}cm$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Leżące naprzeciw siebie długości boków prostokąta mają jednakowe miary. To pozwoli nam ułożyć dwa następujące równania, z których obliczymy wartości \(x\) oraz \(y\).

Pierwsza para boków:
$$x=27-2x$$ $$3x=27$$ $$x=9$$

Druga para boków:
$$y=2y-3$$ $$-y=-3$$ $$y=3$$

Krok 2. Sprawdzenie, które z podanych równań jest niepoprawne.
Musimy sprawdzić, które z podanych równań jest niepoprawne. W tym celu najłatwiej będzie podstawić wyznaczone \(x=9\) oraz \(y=3\) do działań znajdujących się po lewej stronie równań i sprawdzić, czy otrzymany wynik jest identyczny jak w podanym równaniu. W związku z tym:

Odp. A.
$$x-y=9-3=6$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x-y=6\) jest prawidłowa.

Odp. B.
$$x+y=9+3=12$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x+y=12\) jest prawidłowa.

Odp. C.
$$x\cdot y=9\cdot3=27$$

Czyli tutaj opisana zależność \(x\cdot y=27\) jest prawidłowa.

Odp. D.
$$y:x=3:9=\frac{1}{3}$$

Czyli tutaj opisana zależność \(y:x=3\) jest niepoprawna i to właśnie będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Podstawiając \(a=-3\) do podanego wyrażenia, otrzymamy:
$$2-2\cdot(-3)^2=2-2\cdot9=2-18=-16$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W nawiasie mamy odejmowanie, więc ułamek \(\frac{1}{2}\) musimy wymnożyć przez jeden i drugi jednomian z nawiasu, czyli:
$$\frac{1}{2}(2-2a^2)=1-a^2$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(x\) - liczba banknotów \(20zł\) i jednocześnie liczba banknotów \(50zł\)

To oznacza, że:
\(20\cdot x\) - kwota w banknotach \(20zł\)
\(50\cdot x\) - kwota w banknotach \(50zł\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że kwota wyrażona za pomocą banknotów \(50\)-złotowych jest o \(6\) tysięcy większa od wartości banknotów \(20\)-złotowych, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x+6000=50x$$ $$6000=30x$$ $$x=200$$

To oznacza, że w kasie jest \(200\) banknotów \(20\)-złotowych.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjmując, że \(n\) jest dodatnią liczbą naturalną, liczbę podzielną przez \(7\) moglibyśmy zapisać jako \(7n\). Z treści zadania wynika, że liczby poszczególnych piłeczek są kolejnymi liczbami podzielnymi przez \(7\), czyli możemy zapisać, że:
\(7n\) - liczba piłeczek czerwonych
\(7n+7\) - liczba piłeczek zielonych
\(7n+14\) - liczba piłeczek niebieskich

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma piłeczek musi być równa \(84\), zatem:
$$7n+7n+7+7n+14=84$$ $$21n+21=84$$ $$21n=63$$ $$n=3$$

Krok 3. Obliczenie liczby poszczególnych piłeczek.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami, możemy zapisać, że:
Liczba piłeczek czerwonych: \(7\cdot3=21\)
Liczba piłeczek zielonych: \(7\cdot3+7=21+7=28\)
Liczba piłeczek niebieskich: \(7\cdot3+14=21+14=35\)

To jednak nie koniec obliczeń. Celem zadania jest podanie ile poszczególnych piłeczek jest w jednym zestawie, a wiemy, że tych zestawów jest \(7\). W związku z tym:
Liczba piłeczek czerwonych w pojedynczym zestawie: \(21:7=3\)
Liczba piłeczek zielonych w pojedynczym zestawie: \(28:7=4\)
Liczba piłeczek niebieskich w pojedynczym zestawie: \(35:7=5\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni części \(A\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(A\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$ $$P=\frac{1}{2}(40m+10m)\cdot80m$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot50m\cdot80m$$ $$P=25m\cdot80m$$ $$P=2000m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni części \(B\).
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że pole części \(B\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$ $$P=\frac{1}{2}(60m+90m)\cdot80m$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot150m\cdot80m$$ $$P=75m\cdot80m$$ $$P=6000m^2$$

Krok 3. Obliczenie czasu koszenia części \(B\).
Pole powierzchni części \(B\) jest \(3\) razy większe od pola \(A\), ponieważ \(6000m^2:2000m^2=3\). To oznacza, że tym samym czas koszenia będzie trzykrotnie dłuższy. Możemy więc powiedzieć, że w części \(B\) kosiarka będzie kosiła przez:
$$3\cdot3h=9h$$

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że w podstawie graniastosłupa mamy trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość \(8cm\), a przeciwprostokątna ma długość \(10cm\). Brakującą długość drugiej przyprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$8^2+b^2=10^2$$ $$64+b^2=100$$ $$b^2=36$$ $$b=6 \quad\lor\quad b=-6$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, stąd też \(b=6\). Warto przy okazji zauważyć, że będzie to tym samym najkrótszy bok tego trójkąta.

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wiemy, że najmniejsza ściana graniastosłupa ma pole równe \(54 cm^2\). Ściana graniastosłupa jest prostokątem, w którym jeden z boków to bok trójkąta znajdującego się w podstawie, a drugi bok to wysokość graniastosłupa. Najmniejsza ściana będzie wychodzić z najkrótszego boku trójkąta, czyli boku o długości \(6cm\), zatem:
$$6cm\cdot H=54cm^2$$ $$H=9cm$$

Krok 3. Obliczenie sumy długości krawędzi graniastosłupa.
Celem zadania jest obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi. Nasz graniastosłup ma dwie pary krawędzi o długościach \(6cm\), \(8cm\) oraz \(10cm\) (to krawędzie z trójkątów z podstawy dolnej i górnej) oraz trzy krawędzie o długości \(9cm\). W związku z tym:
$$K=2\cdot(6cm+8cm+10cm)+3\cdot9cm$$ $$K=2\cdot24cm+27cm$$ $$K=48cm+27cm$$ $$K=75cm$$