LekcjeRazem

Krok 1. Układ współrzędnych.

Przyjmijmy, że środek okręgu \(O=(0,0)\), a \(R=6\), zatem \(A=(-6,0)\), \(B=(6,0)\).

Punkt \(D=(x,y)\) leży na okręgu i \(|AD|=6\):

\(\begin{cases}x^2+y^2=36\\ (x+6)^2+y^2=36\end{cases}\)

Odejmując równania: \(12x+36=0\Rightarrow x=-3\), a stąd \(y=3\sqrt{3}\).

\(D=\left(-3,3\sqrt{3}\right)\), a z symetrii \(C=\left(3,3\sqrt{3}\right)\).

Krok 2. Punkt przecięcia przekątnych.

Z symetrii punkt \(P\) leży na osi \(Oy\). Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A=(-6,0)\) i \(C=\left(3,3\sqrt{3}\right)\); jej równanie:

\(y=\frac{3\sqrt{3}-0}{3+6}(x+6)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+6)\)

Dla \(x=0\): \(y=2\sqrt{3}\), czyli \(P=\left(0,2\sqrt{3}\right)\).

Krok 3. Trójkąt \(ABP\).

\(|AB|=12\), wysokość z \(P\) na \(AB\) jest równa \(2\sqrt{3}\):

\(P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)

\(|AP|=|BP|=\sqrt{6^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)

Krok 4. Promień okręgu wpisanego.

Korzystamy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot\text{obwód}\cdot r\):

\(12\sqrt{3}=\frac{12+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2}\cdot r\)

\(12\sqrt{3}=\left(6+4\sqrt{3}\right)r\)

\(r=\frac{12\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\)

Usuwamy niewymierność (mnożymy przez \(2\sqrt{3}-3\), bo \(\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-3\right)=3\)):

\(r=\frac{6\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}=2\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-3\right)=12-6\sqrt{3}\)

Krok 5. Pole koła.

\(P_{ko\dot{l}a}=\pi r^2=\pi\left(12-6\sqrt{3}\right)^2=\pi\left(144-144\sqrt{3}+108\right)\)

\(=\left(252-144\sqrt{3}\right)\pi\approx 2{,}58\pi\)

Odpowiedź: \(\left(252-144\sqrt{3}\right)\pi\)