LekcjeRazem

Krok 1. Odległość wierzchołka od przekątnej.

Przekątne rombu przecinają się w punkcie \(O\) i są wzajemnie prostopadłe oraz połowią się. Odcinek \(AO\) jest więc połową przekątnej \(AC\), a jego długość to odległość punktu \(A\) od prostej \(l\):

\(|AO|=\frac{|2\cdot(-2)-6-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|-15|}{\sqrt{5}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)

Zatem \(|AC|=6\sqrt{5}\).

Krok 2. Druga przekątna.

Pole rombu jest równe połowie iloczynu przekątnych:

\(\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|=90\)

\(|BD|=\frac{180}{6\sqrt{5}}=\frac{30}{\sqrt{5}}=6\sqrt{5}\)

(przekątne są równe, więc romb jest kwadratem)

Krok 3. Długość boku.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AOB\):

\(a^2=\left(\frac{|AC|}{2}\right)^2+\left(\frac{|BD|}{2}\right)^2=\left(3\sqrt{5}\right)^2+\left(3\sqrt{5}\right)^2=45+45=90\)

\(a=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\)

Odpowiedź: bok rombu ma długość \(3\sqrt{10}\).