Liczba \(3\) jest rozwiązaniem równania dla każdego \(m\). Oznaczmy \(g(x)=x^2+(m-1)x-6m^2+2m\).
Krok 1. Wyróżnik trójmianu.
\(\Delta=(m-1)^2-4\left(-6m^2+2m\right)=m^2-2m+1+24m^2-8m=25m^2-10m+1=(5m-1)^2\)
Zatem \(\Delta\ge 0\) dla każdego \(m\), przy czym \(\Delta=0\iff m=\frac{1}{5}\).
Krok 2. Kiedy rozwiązań jest dokładnie dwa?
Równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania w dwóch przypadkach.
Przypadek A: trójmian ma jeden pierwiastek podwójny, różny od \(3\).
\(m=\frac{1}{5}\), a pierwiastkiem podwójnym jest \(x=\frac{1-m}{2}=\frac{1-\frac{1}{5}}{2}=\frac{2}{5}\neq 3\) ✓
Rozwiązania: \(3\) oraz \(\frac{2}{5}\) — dokładnie dwa.
Przypadek B: trójmian ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy \(3\).
\(g(3)=0\):
\(9+3(m-1)-6m^2+2m=0\)
\(9+3m-3-6m^2+2m=0\)
\(-6m^2+5m+6=0\), czyli \(6m^2-5m-6=0\)
\(\Delta_m=25+144=169\), \(\;\sqrt{\Delta_m}=13\)
\(m=\frac{5-13}{12}=-\frac{2}{3}\) lub \(m=\frac{5+13}{12}=\frac{3}{2}\)
Obie wartości są różne od \(\frac{1}{5}\), więc \(\Delta\gt 0\) i trójmian ma dwa różne pierwiastki.
Dla \(m=\frac{3}{2}\): \(g(x)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{21}{2}\), pierwiastki \(3\) i \(-\frac{7}{2}\) — rozwiązania równania: \(3\) i \(-\frac{7}{2}\) ✓
Dla \(m=-\frac{2}{3}\): \(g(x)=x^2-\frac{5}{3}x-4\), pierwiastki \(3\) i \(-\frac{4}{3}\) ✓
Odpowiedź: \(m=-\frac{2}{3}\), \(m=\frac{1}{5}\) lub \(m=\frac{3}{2}\)