LekcjeRazem

Krok 1. Układ współrzędnych.

Przyjmijmy:

\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\)

\(E=(0,0,2)\), \(F=(2,0,2)\), \(G=(2,2,2)\), \(H=(0,2,2)\)

Punkt \(S\) jest środkiem krawędzi \(DH\), zatem \(S=(0,2,1)\).

Krok 2. Długości boków trójkąta \(CFS\).

\(|CF|=\sqrt{(2-2)^2+(0-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

(to przekątna ściany \(BCGF\))

\(|CS|=\sqrt{(0-2)^2+(2-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}\)

\(|FS|=\sqrt{(0-2)^2+(2-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9}=3\)

Krok 3. Najmniejszy kąt.

Najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszego boku. Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\lt 2\sqrt{2}\approx 2{,}83\lt 3\), najkrótszy jest bok \(CS\), a naprzeciw niego leży kąt \(CFS\).

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

\(|CS|^2=|CF|^2+|FS|^2-2\cdot|CF|\cdot|FS|\cdot\cos|\angle CFS|\)

\(5=8+9-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot\cos|\angle CFS|\)

\(12\sqrt{2}\cos|\angle CFS|=12\)

\(\cos|\angle CFS|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(|\angle CFS|=45^\circ\)

Odpowiedź: najmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta \(CFS\) ma miarę \(45^\circ\).