LekcjeRazem

Krok 1. Zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta.

\(\sin(2x)=2\sin x\cos x\), więc równanie przyjmuje postać:

\(2\cos^2 x-\cos x=2\sin x\cos x-\sin x\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(\cos x(2\cos x-1)=\sin x(2\cos x-1)\)

\((2\cos x-1)(\cos x-\sin x)=0\)

Krok 3. Pierwsze równanie.

\(2\cos x-1=0\Rightarrow\cos x=\frac{1}{2}\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\): \(x=\frac{\pi}{3}\) lub \(x=\frac{5\pi}{3}\).

Krok 4. Drugie równanie.

\(\cos x=\sin x\)

Dla \(\cos x=0\) równość nie zachodzi, więc możemy podzielić przez \(\cos x\):

\(\operatorname{tg}x=1\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\): \(x=\frac{\pi}{4}\) lub \(x=\frac{5\pi}{4}\).

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{\pi}{3}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{3}\)