LekcjeRazem

Krok 1. Dane okręgu \(o_1\) i prosta \(k\).

\(S_1=(6,4)\), \(\;r_1=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)

Prostą \(k\) zapisujemy w postaci ogólnej: \(3x+y+6=0\).

Krok 2. Odległość \(S_1\) od prostej \(k\) i połowa wspólnej cięciwy.

\(d_1=\frac{|3\cdot 6+4+6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{28}{\sqrt{10}}\)

Wspólne punkty obu okręgów leżą na \(k\), więc odcinek łączący te punkty jest wspólną cięciwą. Jej połowa \(t\) spełnia:

\(t^2=r_1^2-d_1^2=98-\frac{784}{10}=98-78{,}4=19{,}6\)

Krok 3. Odległość środka \(o_2\) od prostej \(k\).

Dla okręgu \(o_2\) o promieniu \(r_2=2\sqrt{5}\) (czyli \(r_2^2=20\)) ta sama cięciwa daje:

\(d_2^2=r_2^2-t^2=20-19{,}6=0{,}4\)

\(d_2=\sqrt{0{,}4}=\frac{2}{\sqrt{10}}\)

Krok 4. Położenie środka \(o_2\).

Środek \(o_2\) leży na prostej przechodzącej przez \(S_1\) prostopadle do \(k\) (bo prosta łącząca środki jest prostopadła do wspólnej cięciwy). Wektor normalny prostej \(k\) to \([3,1]\), więc:

\(S_2=(6-3t,\;4-t)\) dla pewnego \(t\in\mathbb{R}\)

Ponieważ dla \(S_1\) mamy \(3\cdot 6+4+6=28\gt 0\), a środki leżą po różnych stronach prostej \(k\), dla \(S_2\) wyrażenie \(3x+y+6\) musi być ujemne:

\(3(6-3t)+(4-t)+6=28-10t=-2\)

(bo \(|3x+y+6|=d_2\cdot\sqrt{10}=2\))

\(t=3\)

\(S_2=(6-9,\;4-3)=(-3,1)\)

Sprawdzenie: \(\frac{|{-9}+1+6|}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=d_2\) ✓, a \(3\cdot(-3)+1+6=-2\lt 0\) — środki leżą po różnych stronach \(k\) ✓

Odpowiedź: \(o_2:\;(x+3)^2+(y-1)^2=20\)