LekcjeRazem

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji trygonometrycznej.

Dzielimy równanie przez \(2\) i zapisujemy:

\(\frac{1}{2}\cos(3x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x)=-\frac{1}{2}\)

Ponieważ \(\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\) oraz \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\), lewa strona jest równa \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)\):

\(\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\)

Krok 2. Rozwiązanie równania podstawowego.

\(3x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(3x+\frac{\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

Pierwsza rodzina:

\(3x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\)

Druga rodzina:

\(3x=\pi+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\)

Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,\pi\rangle\).

Pierwsza rodzina: \(k=1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{9}\) ✓ (dla \(k=0\) wartość ujemna, dla \(k=2\) — \(\frac{11\pi}{9}\gt\pi\)).

Druga rodzina: \(k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\) ✓; \(\;k=1\Rightarrow x=\pi\) ✓.

Sprawdzenie dla \(x=\pi\): \(\cos 3\pi+\sqrt{3}\sin 3\pi+1=-1+0+1=0\) ✓

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{3}\), \(x=\frac{5\pi}{9}\), \(x=\pi\)