LekcjeRazem

Etap I. Warunek dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych.

Równanie ma być kwadratowe, więc \(3-m\neq 0\), czyli \(m\neq 3\).

\(\Delta=(m+1)^2+4(3-m)(m+1)^2=(m+1)^2\left[1+4(3-m)\right]=(m+1)^2(13-4m)\)

\(\Delta\gt 0\iff (m+1)^2\gt 0\;\wedge\;13-4m\gt 0\iff m\neq -1\;\wedge\;m\lt\frac{13}{4}\)

Zatem \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac{13}{4}\right)\).

Etap II. Warunek na rozwiązania.

Ze wzorów Viète’a:

\(x_1+x_2=-\frac{m+1}{3-m}\), \(\;x_1x_2=-\frac{(m+1)^2}{3-m}\)

Przekształcamy warunek:

\(x_1^2+x_2^2=x_1x_2+7\)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+7\)

\((x_1+x_2)^2=3x_1x_2+7\)

\(\frac{(m+1)^2}{(3-m)^2}=-\frac{3(m+1)^2}{3-m}+7\)

Mnożymy obie strony przez \((3-m)^2\neq 0\):

\((m+1)^2+3(m+1)^2(3-m)-7(3-m)^2=0\)

\(m^2+2m+1-3m^3+3m^2+15m+9-7m^2+42m-63=0\)

\(-3m^3-3m^2+59m-53=0\)

Etap III. Rozwiązanie równania sześciennego.

Sprawdzamy \(m=1\): \(-3-3+59-53=0\) ✓

Dzielimy wielomian przez \((m-1)\):

\(-3m^3-3m^2+59m-53=(m-1)\left(-3m^2-6m+53\right)\)

Dla \(-3m^2-6m+53=0\), czyli \(3m^2+6m-53=0\):

\(\Delta=36+636=672\), \(\;\sqrt{672}=4\sqrt{42}\)

\(m=\frac{-6\pm 4\sqrt{42}}{6}=\frac{-3\pm 2\sqrt{42}}{3}\)

Etap IV. Część wspólna warunków.

\(m=1\) należy do przedziału z etapu I ✓

\(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\approx-5{,}32\) należy do przedziału ✓

\(m=\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\gt\frac{13}{4}=3{,}25\) — nie spełnia warunku \(\Delta\gt 0\), odrzucamy.

Odpowiedź: \(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\)