LekcjeRazem

Krok 1. Pozostałe wierzchołki równoległoboku.

Punkt \(M\) jest środkiem obu przekątnych, więc:

\(B=2M-D=(-9+13,\;2-9)=(4,-7)\)

\(C=2M-A=(-9+8,\;2+1)=(-1,3)\)

Krok 2. Równania prostych \(AB\) i \(BC\).

Prosta \(AB\) przez \(A=(-8,-1)\) i \(B=(4,-7)\):

\(a=\frac{-7+1}{4+8}=-\frac{1}{2}\), \(\;y=-\frac{1}{2}x-5\), czyli \(x+2y+10=0\)

Prosta \(BC\) przez \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\):

\(a=\frac{3+7}{-1-4}=-2\), \(\;y=-2x+1\), czyli \(2x+y-1=0\)

Krok 3. Środek okręgu leży na dwusiecznej kąta.

Środek \(S=(p,q)\) jest równo oddalony od obu prostych:

\(\frac{|p+2q+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|2p+q-1|}{\sqrt{5}}\)

Rozpatrujemy dwusieczną \(p+2q+10=-(2p+q-1)\):

\(3p+3q+9=0\), czyli \(q=-p-3\) (prosta \(y=-x-3\))

Krok 4. Warunek przechodzenia przez początek układu.

Promień jest równy odległości środka od prostej \(AB\) oraz od punktu \((0,0)\):

\(r=\frac{|p+2(-p-3)+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|4-p|}{\sqrt{5}}\)

\(r^2=p^2+(p+3)^2\)

Stąd:

\(5\left[p^2+(p+3)^2\right]=(p-4)^2\)

\(5\left(2p^2+6p+9\right)=p^2-8p+16\)

\(10p^2+30p+45=p^2-8p+16\)

\(9p^2+38p+29=0\)

\(\Delta=1444-1044=400\), \(\;\sqrt{\Delta}=20\)

\(p_1=\frac{-38-20}{18}=-\frac{29}{9}\), \(\;p_2=\frac{-38+20}{18}=-1\)

Krok 5. Wybór rozwiązania.

Dla \(p=-\frac{29}{9}\) mamy \(q=\frac{29}{9}-3=\frac{2}{9}\gt 0\) — odrzucamy (druga współrzędna ma być ujemna).

Dla \(p=-1\) mamy \(q=-2\lt 0\) ✓, więc \(S=(-1,-2)\) oraz:

\(r^2=(-1)^2+(-2)^2=5\)

Sprawdzenie: odległość \(S\) od prostej \(x+2y+10=0\) wynosi \(\frac{|-1-4+10|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) ✓

Odpowiedź: \(\mathcal{O}:\;(x+1)^2+(y+2)^2=5\)