LekcjeRazem

Krok 1. Wyrazy ciągu \((a_n)\) w zależności od \(r\).

Z warunku \(a_6=a_1+5r=15\) mamy \(a_1=15-5r\), zatem:

\(a_3=a_1+2r=15-3r\), \(\;a_8=a_1+7r=15+2r\), \(\;a_{15}=a_1+14r=15+9r\)

Krok 2. Równanie z niewiadomą \(r\).

\(15+9r=(15-3r)\left(15+2r-6\right)=(15-3r)(9+2r)\)

\(15+9r=135+30r-27r-6r^2\)

\(15+9r=135+3r-6r^2\)

\(6r^2+6r-120=0\)

\(r^2+r-20=0\)

\(\Delta=1+80=81\), \(\;r_1=\frac{-1-9}{2}=-5\), \(\;r_2=\frac{-1+9}{2}=4\)

Ciąg jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i przyjmujemy \(r=4\) (wartość \(r=-5\) odrzucamy).

Krok 3. Ciąg \((b_n)\).

\(a_1=15-5\cdot 4=-5\)

\(b_1=a_{11}=a_1+10r=-5+40=35\)

\(b_2=a_6=15\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\)

Krok 4. Suma szeregu geometrycznego.

Ponieważ \(|q|=\frac{3}{7}\lt 1\), szereg jest zbieżny:

\(S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}\)

Odpowiedź: \(S=\frac{245}{4}=61{,}25\)