LekcjeRazem

Prawą stronę równości można rozłożyć na dwie sumy początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(1,2,3,\ldots\) (o pierwszym wyrazie 1 i różnicy 1):

\(\underbrace{1+2+\ldots+n}_{S_n}+\underbrace{(n-1)+\ldots+2+1}_{S_{n-1}}\).

Ze wzoru na sumę \(k\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_k=\dfrac{(1+k)k}{2}\),

a więc

\(S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\), \(\ S_{n-1}=\dfrac{(n-1)n}{2}\).

Dodajemy:

\(S_n+S_{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n\bigl[(n+1)+(n-1)\bigr]}{2}=\dfrac{n\cdot2n}{2}=n^2\),

co kończy uzasadnienie. \(\blacksquare\)