LekcjeRazem

Wierzchołek paraboli. \(y=-x^2+6x\), więc \(x_C=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=3\) oraz \(y_C=-9+18=9\). Stąd \(C=(3,9)\), a parabola ma ramiona skierowane w dół.

Wierzchołki \(A\) i \(B\). Bok \(AB\) jest poziomy, a parabola jest symetryczna względem prostej \(x=3\), więc

\(A=(3-t,\,y_0)\), \(B=(3+t,\,y_0)\), gdzie \(t>0\).

Obliczamy \(y_0=-(3+t)^2+6(3+t)=9-t^2\), więc

\(|AB|=2t\) oraz wysokość trójkąta \(h=y_C-y_0=9-(9-t^2)=t^2\).

Warunek równoboczności. W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość wynosi \(\tfrac{a\sqrt3}{2}\):

\(t^2=\dfrac{2t\sqrt3}{2}=t\sqrt3\).

Ponieważ \(t>0\), dzielimy przez \(t\): \(t=\sqrt3\).

Stąd \(y_0=9-3=6\), a więc

\(A=(3-\sqrt3,\ 6)\), \(B=(3+\sqrt3,\ 6)\), \(C=(3,\ 9)\).

Rysunek: parabola o wierzchołku \((3,9)\) i miejscach zerowych \(0\) i \(6\); trójkąt o poziomej podstawie na wysokości \(y=6\) i wierzchołku w punkcie \((3,9)\).