LekcjeRazem

Dziedziną równania jest \(x\neq0\). Oznaczmy \(u=\dfrac{2}{x}+3\).

Ponieważ \(\dfrac{2}{x}\) przyjmuje dokładnie raz każdą wartość różną od zera, zmienna \(u\) przebiega zbiór \(R\setminus\{3\}\), przy czym każdej dopuszczalnej wartości \(u\) odpowiada dokładnie jedno \(x\).

Równanie \(|u|=p\) rozważamy w zależności od \(p\):

• \(p\lt 0\): brak rozwiązań (wartość bezwzględna jest nieujemna) — 0 rozwiązań.

• \(p=0\): \(u=0\), a \(0\neq3\), więc \(\dfrac{2}{x}=-3\), czyli \(x=-\dfrac23\) — 1 rozwiązanie.

• \(p>0\): \(u=p\) lub \(u=-p\) — dwie różne wartości. Każda z nich daje rozwiązanie, o ile jest różna od \(3\). Wartość \(-p\) jest ujemna, więc zawsze dopuszczalna; wartość \(p\) jest niedopuszczalna dokładnie dla \(p=3\).

   – dla \(p=3\): 1 rozwiązanie (\(\tfrac{2}{x}=-6\), czyli \(x=-\tfrac13\)),

   – dla \(p>0\) i \(p\neq3\): 2 rozwiązania.