LekcjeRazem

Skorzystamy z rachunku wektorowego. Ustalmy dowolny punkt \(O\) i oznaczmy wektory wodzące wierzchołków przez \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\).

Ponieważ \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) są środkami odpowiednich odcinków, ich wektory wodzące to:

\(\vec{m}=\tfrac12(\vec{a}+\vec{b})\), \(\vec{n}=\tfrac12(\vec{c}+\vec{d})\), \(\vec{p}=\tfrac12(\vec{a}+\vec{c})\), \(\vec{q}=\tfrac12(\vec{b}+\vec{d})\).

Stąd

\(\overrightarrow{MQ}=\vec{q}-\vec{m}=\tfrac12(\vec{b}+\vec{d})-\tfrac12(\vec{a}+\vec{b})=\tfrac12(\vec{d}-\vec{a})=\tfrac12\overrightarrow{AD}\),

\(\overrightarrow{PN}=\vec{n}-\vec{p}=\tfrac12(\vec{c}+\vec{d})-\tfrac12(\vec{a}+\vec{c})=\tfrac12(\vec{d}-\vec{a})=\tfrac12\overrightarrow{AD}\).

Zatem \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PN}=\tfrac12\overrightarrow{AD}\), a ponieważ \(A\neq D\), oba wektory są niezerowe.

Równe (a więc równoległe) niezerowe wektory oznaczają, że \(MQ\parallel PN\) (co więcej, \(MQNP\) jest równoległobokiem — jest on niezdegenerowany, bo czworokąt \(ABCD\) nie jest równoległobokiem). \(\blacksquare\)