LekcjeRazem

Oznaczmy $|AB|=a$, $|CD|=b$ oraz długość ramienia przez $c$ (trapez jest równoramienny).

Krok 1. Warunek opisania na okręgu. W czworokąt opisany na okręgu sumy przeciwległych boków są równe:

$$a+b=c+c=2c\ \Longrightarrow\ c=\frac{a+b}{2}.$$

Krok 2. Wysokość trapezu. Okrąg wpisany jest styczny do obu podstaw, które są równoległe, więc odległość między nimi równa się średnicy:

$$h=2r.$$

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa dla ramienia. Rzut ramienia na podstawę ma długość $\frac{a-b}{2}$:

$$c^{2}=h^{2}+\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}.$$

Podstawiamy $c=\frac{a+b}{2}$ oraz $h=2r$:

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=4r^{2}+\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}.$$

Krok 4. Przekształcenie.

$$\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}=4r^{2}.$$

Licznik to różnica kwadratów:

$$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab,$$

zatem

$$\frac{4ab}{4}=4r^{2}\ \Longrightarrow\ ab=4r^{2},$$

czyli $4r^{2}=|AB|\cdot|CD|$. $\blacksquare$