LekcjeRazem

Krok 1. Interpretacja warunku o sumie współczynników. Suma współczynników wielomianu to jego wartość w punkcie $1$:

$$W(1)=1+a+b+c=0,$$

co oznacza, że liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$.

Krok 2. Postać pierwiastków. Trzy pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$, więc można je zapisać jako

$$t-3,\qquad t,\qquad t+3.$$

Ponieważ $1$ jest jednym z nich, mamy trzy możliwości.

Przypadek 1: $t-3=1$, czyli $t=4$. Pierwiastki: $1,\ 4,\ 7$.

Ze wzorów Viète'a dla wielomianu $x^{3}+ax^{2}+bx+c$:

$$a=-(1+4+7)=-12,$$

$$b=1\cdot4+1\cdot7+4\cdot7=4+7+28=39,$$

$$c=-(1\cdot4\cdot7)=-28.$$

Kontrola: $1-12+39-28=0$ ✓

Przypadek 2: $t=1$. Pierwiastki: $-2,\ 1,\ 4$.

$$a=-(-2+1+4)=-3,$$

$$b=(-2)\cdot1+(-2)\cdot4+1\cdot4=-2-8+4=-6,$$

$$c=-\left((-2)\cdot1\cdot4\right)=8.$$

Kontrola: $1-3-6+8=0$ ✓

Przypadek 3: $t+3=1$, czyli $t=-2$. Pierwiastki: $-5,\ -2,\ 1$.

$$a=-(-5-2+1)=6,$$

$$b=(-5)(-2)+(-5)\cdot1+(-2)\cdot1=10-5-2=3,$$

$$c=-\left((-5)(-2)\cdot1\right)=-10.$$

Kontrola: $1+6+3-10=0$ ✓

Odpowiedź — trzy rozwiązania:

$a=-12,\ b=39,\ c=-28$;   $a=-3,\ b=-6,\ c=8$;   $a=6,\ b=3,\ c=-10$.