LekcjeRazem

Krok 1. Współrzędne wierzchołków. Niech $x$ będzie pierwszą współrzędną punktu $C$. Punkt $C$ leży na paraboli, więc

$$C=\left(x,\ 2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$

Trapez jest równoramienny i symetryczny względem osi $Oy$, zatem

$$D=\left(-x,\ 2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$

Krok 2. Dziedzina. Musi być $x>0$, wysokość trapezu dodatnia ($2-\frac{x^{2}}{2}>0$, czyli $x\lt 2$) oraz $|DC|\lt |AB|$, czyli $2x\lt 4$ — ten sam warunek. Zatem

$$x\in(0,\ 2).$$

Krok 3. Pole trapezu. Podstawy mają długości $|AB|=4$ oraz $|DC|=2x$, a wysokością jest rzędna punktu $C$:

$$P(x)=\frac{|AB|+|DC|}{2}\cdot h=\frac{4+2x}{2}\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)=(2+x)\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$

Po wymnożeniu:

$$P(x)=-\frac{x^{3}}{2}-x^{2}+2x+4.$$

Krok 4. Poszukiwanie maksimum.

$$P^{\prime}(x)=-\frac{3x^{2}}{2}-2x+2.$$

$$P^{\prime}(x)=0\ \Big|\cdot(-2)\ \Longrightarrow\ 3x^{2}+4x-4=0.$$

$$\Delta=16+48=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\qquad x=\frac{-4\pm8}{6}.$$

$$x_1=\frac{2}{3},\qquad x_2=-2\ (\text{odrzucamy, bo }x>0).$$

Dla $x\lt \frac23$ pochodna jest dodatnia, dla $x>\frac23$ ujemna, więc w $x=\frac23$ funkcja osiąga maksimum.

Krok 5. Współrzędne punktu $C$ i największe pole.

$$y_C=2-\frac{1}{2}\left(\frac23\right)^{2}=2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}.$$

$$C=\left(\frac{2}{3},\ \frac{16}{9}\right).$$

$$P\left(\tfrac23\right)=\left(2+\tfrac23\right)\cdot\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\cdot\frac{16}{9}=\frac{128}{27}.$$

Odpowiedź: $P(x)=(2+x)\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)$ dla $x\in(0,2)$; największe pole $\frac{128}{27}$ dla $C=\left(\frac{2}{3},\frac{16}{9}\right)$