LekcjeRazem

Krok 1. Kąt przy wierzchołku $A$. Rozpatrujemy trójkąt $ACD$, w którym znamy wszystkie trzy boki. Z twierdzenia cosinusów dla boku $CD$:

$$|CD|^{2}=|AC|^{2}+|AD|^{2}-2\,|AC|\,|AD|\cos\alpha,$$

$$196=256+36-2\cdot16\cdot6\cdot\cos\alpha=292-192\cos\alpha.$$

$$192\cos\alpha=96\ \Longrightarrow\ \cos\alpha=\frac12\ \Longrightarrow\ \alpha=60^\circ.$$

Krok 2. Oznaczenie niewiadomej. Niech $|BC|=|BD|=t$. Punkt $D$ leży na boku $AB$, więc

$$|AB|=|AD|+|DB|=6+t.$$

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABC$ dla boku $BC$ (kąt przy $A$ jest ten sam):

$$t^{2}=|AC|^{2}+|AB|^{2}-2\,|AC|\,|AB|\cos 60^\circ,$$

$$t^{2}=256+(6+t)^{2}-2\cdot16\cdot(6+t)\cdot\frac12=256+(6+t)^{2}-16(6+t).$$

Krok 4. Rozwiązanie równania.

$$t^{2}=256+36+12t+t^{2}-96-16t.$$

$$0=196-4t\ \Longrightarrow\ t=49.$$

Krok 5. Obwód.

$$|BC|=49,\qquad |AB|=6+49=55,\qquad |AC|=16.$$

$$\text{Obwód}=16+55+49=120.$$

Sprawdzenie: $256+55^{2}-16\cdot55=256+3025-880=2401=49^{2}$ ✓

Odpowiedź: obwód trójkąta $ABC$ wynosi $120$.