LekcjeRazem

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z własności $\log_a\frac1b=-\log_a b$.

Krok 1. Pierwszy czynnik.

$$\log_{\frac{1}{x}}y=\frac{\ln y}{\ln\frac1x}=\frac{\ln y}{-\ln x}=-\frac{\ln y}{\ln x}.$$

Krok 2. Drugi czynnik.

$$\log_{\frac{1}{y}}x=\frac{\ln x}{-\ln y}=-\frac{\ln x}{\ln y}.$$

Krok 3. Iloczyn. Minusy się znoszą, a ułamki skracają:

$$\left(-\frac{\ln y}{\ln x}\right)\cdot\left(-\frac{\ln x}{\ln y}\right)=\frac{\ln y}{\ln x}\cdot\frac{\ln x}{\ln y}=1.$$

Założenia $x\neq1$ i $y\neq1$ gwarantują, że $\ln x\neq0$ i $\ln y\neq0$, więc dzielenie jest poprawne.

Odpowiedź: D