LekcjeRazem

Krok 1. Oznaczenie boków. Przyjmijmy $|AC|=1$. Wtedy

$$|AB|=3,\qquad |BC|=\frac{4}{5}\cdot 3=\frac{12}{5}.$$

Sprawdzenie warunku trójkąta: $1+\frac{12}{5}=\frac{17}{5}=3{,}4>3$ ✓

Krok 2. Który kąt jest najmniejszy. Najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszego boku. Najkrótszy jest $AC=1$, a leży on naprzeciw kąta przy wierzchołku $B$.

Krok 3. Twierdzenie cosinusów dla boku $AC$:

$$|AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}-2\,|AB|\,|BC|\cos\beta.$$

$$\cos\beta=\frac{|AB|^{2}+|BC|^{2}-|AC|^{2}}{2\,|AB|\,|BC|}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$|AB|^{2}=9=\frac{225}{25},\qquad |BC|^{2}=\frac{144}{25},\qquad |AC|^{2}=1=\frac{25}{25}.$$

$$\cos\beta=\frac{\frac{225+144-25}{25}}{2\cdot3\cdot\frac{12}{5}}=\frac{\frac{344}{25}}{\frac{72}{5}}=\frac{344}{25}\cdot\frac{5}{72}=\frac{344}{360}=\frac{43}{45}.$$

Krok 5. Rozwinięcie dziesiętne.

$$\frac{43}{45}=0{,}9555\ldots$$

Pierwsze trzy cyfry po przecinku to $9$, $5$, $5$.

Odpowiedź: 9 5 5