LekcjeRazem

Punkt $C$ leży na paraboli, więc $C=(m,\ m^{2})$.

a) Pole trójkąta. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych wierzchołkach:

$$P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|.$$

$$P=\frac12\left|1\cdot(m^{2}-2)-m\cdot 1\right|=\frac12\left|m^{2}-m-2\right|=\frac12\left|(m-2)(m+1)\right|.$$

Prosta $AB$ ma równanie $y=x+2$; punkt $C$ leży na niej dla $m=-1$ oraz $m=2$ — wtedy trójkąt się degeneruje. Zatem

$$P(m)=\frac12\left|m^{2}-m-2\right|\quad\text{dla }m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,\,2\}.$$

b) Warunek ostrokątności. Trójkąt jest ostrokątny, gdy wszystkie trzy iloczyny skalarne odpowiednich wektorów są dodatnie.

Kąt przy $A$: $\vec{AB}=[1,1]$, $\vec{AC}=[m,\ m^{2}-2]$:

$$m+m^{2}-2=(m+2)(m-1)>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt -2\ \text{lub}\ m>1.$$

Kąt przy $B$: $\vec{BA}=[-1,-1]$, $\vec{BC}=[m-1,\ m^{2}-3]$:

$$-(m-1)-(m^{2}-3)=-m^{2}-m+4>0\ \Longleftrightarrow\ m^{2}+m-4\lt 0,$$

$$m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\approx(-2{,}56;\ 1{,}56).$$

Kąt przy $C$: $\vec{CA}=[-m,\ 2-m^{2}]$, $\vec{CB}=[1-m,\ 3-m^{2}]$:

$$-m(1-m)+(2-m^{2})(3-m^{2})=m^{4}-4m^{2}-m+6.$$

To wyrażenie jest dodatnie dla każdego $m$ (najmniejsza wartość, w pobliżu $m\approx1{,}49$, wynosi około $0{,}56$), więc kąt przy $C$ jest zawsze ostry i nie wnosi ograniczeń.

Część wspólna warunków:

$$m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ -2\right)\cup\left(1,\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right).$$

Punkty $m=-1$ i $m=2$ nie należą do tych przedziałów, więc trójkąt nie degeneruje się automatycznie.

Kontrola: dla $m=1{,}2$ trzy iloczyny skalarne wynoszą $0{,}64$; $1{,}36$; $1{,}11$ — wszystkie dodatnie ✓. Dla $m=1{,}6$ mamy $m^{2}+m-4=0{,}16>0$, więc kąt przy $B$ nie jest ostry — zgodnie z wykluczeniem.