LekcjeRazem

Krok 1. Odległość $A$ od prostej $BC$. Prostą $y=x-1$ zapisujemy jako $x-y-1=0$:

$$d=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Krok 2. Długość boku $BC$. Odcinek $BC$ leży na tej prostej, więc $d$ jest wysokością opuszczoną na $BC$:

$$P=\frac12\,|BC|\cdot d\ \Longrightarrow\ 15=\frac12\,|BC|\cdot 3\sqrt2\ \Longrightarrow\ |BC|=\frac{30}{3\sqrt2}=5\sqrt2.$$

Z równoramienności $|AC|=|BC|=5\sqrt2$.

Krok 3. Wyznaczenie $C$. Punkt $C$ leży na prostej, więc $C=(t,\,t-1)$:

$$|AC|^2=(t+3)^2+(t-3)^2=2t^2+18=\left(5\sqrt2\right)^2=50.$$

$$2t^2=32\ \Longrightarrow\ t^2=16\ \Longrightarrow\ t=4\ \text{lub}\ t=-4.$$

$$C=(4,\,3)\qquad\text{lub}\qquad C=(-4,\,-5).$$

Krok 4. Wyznaczenie $B$. Punkt $B$ leży na tej samej prostej w odległości $5\sqrt2$ od $C$. Wektor kierunkowy prostej to $[1,1]$ o długości $\sqrt2$, więc przesunięcie o $5\sqrt2$ odpowiada wektorowi $[5,5]$:

$$B=C+[5,5]\qquad\text{lub}\qquad B=C-[5,5].$$

Dla $C=(4,3)$: $\;B=(9,8)$ lub $B=(-1,-2)$.

Dla $C=(-4,-5)$: $\;B=(1,0)$ lub $B=(-9,-10)$.

Odpowiedź — cztery rozwiązania:

$C=(4,3)$ i $B=(-1,-2)$;   $C=(4,3)$ i $B=(9,8)$;   $C=(-4,-5)$ i $B=(1,0)$;   $C=(-4,-5)$ i $B=(-9,-10)$.